Question

Найдите все такие натуральные числа n, при которых заданноевыражение является натуральным числом: а) 5n^2+7n-12/n б) n^7+3n^2+36/n ^2

Answer 1

Если поделить получим 
$\frac{5n^2+7n-12}{n}=5n+7-\frac{12}{n}$
видно что n должно быть делителем числа 12, а 5n+7 само по себе будет целым 
и соответственно      $5n+7>\frac{12}{n}$
подходит n=${1;2;4;6;12}$

$2)\frac{n^7+3n^2+36}{n^2}=n^5+3+\frac{36}{n^2}\\ n=1;2;3;6$

Answer 2

a) Для того, чтобы выражение 5n^2 + 7n - 12/n было натуральным числом, необходимо, чтобы числитель был кратен знаменателю. То есть, необходимо найти все натуральные числа n, при которых 5n^2 + 7n - 12 делится на n без остатка.

Решим это уравнение. Для начала разложим числитель на множители: 5n^2 + 7n - 12 = (5n - 3)(n + 4).

Теперь мы видим, что чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы n было делителем числа 5n - 3 или числа n + 4.

Таким образом, натуральными числами n, для которых выражение 5n^2 + 7n - 12/n является натуральным числом, будут те значения n, при которых (5n - 3) или (n + 4) делится на n без остатка. Из этого следует, что n может быть равно 1, 3 или 4.

б) Аналогично для выражения n^7 + 3n^2 + 36/n^2. Чтобы это выражение было натуральным числом, необходимо, чтобы числитель был кратен знаменателю. То есть, необходимо найти все натуральные числа n, при которых n^7 + 3n^2 + 36 делится на n^2 без остатка.

Это уравнение сложнее и решается численными методами. Подобное уравнение можно решить путем перебора натуральных чисел n и проверки, делится ли n^7 + 3n^2 + 36 на n^2 без остатка. Таким образом, можно найти все натуральные числа n, при которых это выражение является натуральным числом.