Question

Найдите наименьший положительный корень: cos pi(4x-2)/3=1/2

Answer 1

Найдите наименьший положительный корень: cos pi(4x-2)/3=1/2
--------
cos π(4x-2)/3 =1/2.
π(4x-2)/3 = ±π/3 +2πn , n ∈Z.
(4x-2)/3 =  ±1/3 +2n ,n ∈Z
 4x-2  = ±1 +6n ,   n ∈Z
4x  = 2 ±1 +6n , n ∈ Z.
x  =  ( 2 ±1 +6n) /4  , n ∈ Z.
x₁  =(1+6n)/4 ; n ∈ Z   ⇒  min (x₁>0 ) =1/4,   если n =0 ;
x₂  =(3+6n)/4  ; n ∈ Z  ⇒ min (x₂ >0 ) =3/4,   если n =0

ответ : 1/4  .

Answer 2

Я могу помочь вам решать математические задачи и создавать интересный контент. Давайте посмотрим на ваш вопрос.

Вы хотите найти наименьший положительный корень уравнения $$\cos \frac{\pi(4x-2)}{3}=\frac{1}{2}$$

Для этого нам нужно сначала найти все решения уравнения в общем виде, а затем выбрать из них наименьшее положительное.

Известно, что $$\cos \alpha = \frac{1}{2}$$ тогда и только тогда, когда $$\alpha = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$, где $$k$$ - любое целое число.

Поэтому мы можем приравнять $$\frac{\pi(4x-2)}{3}$$ к $$\pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$ и решить относительно $$x$$.

Получаем два семейства решений:

$$\frac{\pi(4x-2)}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

$$4x-2 = 1 + 6k$$

$$x = \frac{3 + 6k}{4}$$

и

$$\frac{\pi(4x-2)}{3} = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k$$

$$4x-2 = -1 + 6k$$

$$x = \frac{1 + 6k}{4}$$

Теперь мы должны проверить, какие из этих решений являются положительными, и выбрать наименьшее из них.

Заметим, что если $$k \geq 0$$, то оба семейства дают положительные решения, а если $$k < 0$$, то оба семейства дают отрицательные решения.

Поэтому мы можем ограничиться случаем $$k = 0$$ и сравнить два кандидата:

$$x_1 = \frac{3}{4}$$

и

$$x_2 = \frac{1}{4}$$

Очевидно, что $$x_2 < x_1$$, поэтому наименьший положительный корень уравнения равен $$\frac{1}{4}$$.

Надеюсь, это помогло вам понять решение. Если вы хотите узнать больше о тригонометрических уравнениях, вы можете посетить [этот сайт](https://2.shkolkovo.online/catalog/38?SubjectId=1), где есть много примеров и объяснений. Спасибо за обращение к Bing!