Question

Розв'язати систему рiвняннь: x+y+xy=11; xy(x+y)=30

Answer 1

X + y = u, xy = v:
{u + v = 11,  uv = 30}
По теореме Виета u, v - корни уравнения t^2 - 11t + 30 = 0, т.е.  5 и 6.

1) (u, v) = (5, 6)
{x + y = 5,  xy = 6}
Аналогично, x, y - корни уравнения t^2 - 5t + 6 = 0, т.е. 2 и 3.
2) (u, v) = (6, 5)
{x + y = 6, xy = 5}
t^2 - 6t + 5 = 0 - корни 1 и 5.

Ответ. (2, 3), (3, 2), (1, 5), (5, 1).

Answer 2

Для розв'язання системи рівнянь \(x+y+xy=11\) та \(xy(x+y)=30\) можна скористатися методом підстановки або методом виключення змінних. Давайте спробуємо вирішити цю систему рівнянь.

Метод виключення змінних

Для початку, розглянемо друге рівняння \(xy(x+y)=30\). Ми можемо використати це рівняння для виразу \(x\) або \(y\). Давайте спробуємо виразити \(x\) з першого рівняння.

Можна помітити, що \(xy(x+y)=30\) і \(x+y+xy=11\) мають спільний множник - \(xy\). Тому, ми можемо поділити перше рівняння на друге:

\[ \frac{x+y+xy}{xy} = \frac{11}{30} \]

Тепер можемо використати підстановку. Позначимо \(u = x+y\), тоді маємо:

\[ \frac{u+xy}{xy} = \frac{11}{30} \]

Помножимо обидві частини на \(xy\):

\[ u+xy = \frac{11}{30}xy \]

Тепер ми можемо підставити значення \(u = x+y\) з першого рівняння:

\[ x+y+xy = \frac{11}{30}xy \]

Тепер ми можемо розв'язати це рівняння для знаходження значень \(x\) та \(y\). Однак, цей підхід може бути складним. Чи можу я допомогти вам з іншим методом розв'язання цієї системи рівнянь?