Question

Три числа образуют геометрическую прогрессию. Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической , если же второе число увеличить на 1 ,а третьа на 11, то получится геометрическая прогресси. Найдите эти числа

Answer 1

Ответь сначала на мой

Answer 2

Пусть наши три числа образуют геометрическую прогрессию и равны a, ar, ar^2, где r - знаменатель прогрессии.

Тогда условие "Если второе число увеличить на 8, то прогрессия станет арифметической" можно записать как ar + 8 = a + 2ar, откуда получаем уравнение ar - a = 8.

Условие "Если второе число увеличить на 1, а третье на 11, то получится геометрическая прогрессия" можно записать как ar + 1 = (a + 1)r, ar^2 + 11 = (ar + 1)r.

Решим систему уравнений: { ar - a = 8, ar^2 + 11 = (ar + 1)r }

Первое уравнение можно переписать в виде a(r - 1) = 8. Умножим обе части на r, получаем ar(r - 1) = 8r.

Подставим это во второе уравнение: 8r + 11 = ar(r - 1) + 1r 8r + 11 = ar^2 - ar + r ar^2 - ar - 8r - r + 11 - 1 = 0 ar^2 - 2ar - 9r + 10 = 0

Теперь подставим a = 8/(r - 1) из первого уравнения во второе: (8/(r - 1))r^2 - 2(8/(r - 1))r - 9r + 10 = 0 8r - 8 - 16 + 10(r - 1) = 0 8r - 8 - 16 + 10r - 10 = 0 18r - 34 = 0 18r = 34 r = 34/18 r = 17/9

Теперь найдем a: a = 8/(r - 1) a = 8/((17/9) - 1) a = 8/(8/9) a = 9

Таким образом, наши три числа равны 9, 17 и 153.