Question

sin4x+2sin^2x=1 Решить уравнение

Answer 1

-------------------------------------------------------------------------------

Answer 2

Дано уравнение sin(4x) + 2sin^2(x) = 1, и ваша задача - решить его. Давайте разберемся.

Переформулирование уравнения

Обратим внимание, что уравнение содержит две тригонометрические функции: sin(4x) и sin^2(x). Начнем с переформулирования уравнения, чтобы устранить sin(4x) и привести его к более простому виду.

Используя тригонометрическую формулу двойного угла sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ), мы можем записать sin(4x) как:

sin(4x) = 2sin(2x)cos(2x)

Заменим sin(4x) в исходном уравнении с использованием этой формулы:

2sin(2x)cos(2x) + 2sin^2(x) = 1

Приведение уравнения к квадратному виду

Далее, мы можем использовать тригонометрическую формулу двойного угла sin^2(θ) = (1 - cos(2θ))/2, чтобы заменить sin^2(x):

2sin(2x)cos(2x) + 2(1 - cos(2x))/2 = 1

Упростим это уравнение:

2sin(2x)cos(2x) + 1 - cos(2x) = 1

Теперь, объединим подобные члены:

2sin(2x)cos(2x) - cos(2x) = 0

Выносим cos(2x) за скобку:

cos(2x)(2sin(2x) - 1) = 0

Решение уравнения

Уравнение будет иметь два решения, когда один из множителей равен нулю:

1) cos(2x) = 0

2) 2sin(2x) - 1 = 0

Решим каждое уравнение по отдельности.

1) cos(2x) = 0

Чтобы найти значения x, при которых cos(2x) равен нулю, мы должны рассмотреть значения угла 2x, при которых cos(2x) = 0. Так как cos(2x) = 0, то 2x будет равно π/2 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, получаем:

2x = π/2 + kπ

x = (π/2 + kπ)/2

x = π/4 + kπ/2

где k - целое число.

2) 2sin(2x) - 1 = 0

Добавим 1 к обоим сторонам уравнения:

2sin(2x) = 1

Разделим обе стороны на 2:

sin(2x) = 1/2

Чтобы найти значения x, при которых sin(2x) равен 1/2, мы должны рассмотреть значения угла 2x, при которых sin(2x) = 1/2. Так как sin(2x) = 1/2, то 2x будет равно π/6 + kπ, где k - целое число.

Таким образом, получаем:

2x = π/6 + kπ

x = (π/6 + kπ)/2

x = π/12 + kπ/2

где k - целое число.

Резюме

Таким образом, решение уравнения sin(4x) + 2sin^2(x) = 1 состоит из бесконечного множества решений, которые можно записать в виде:

x = π/4 + kπ/2

или

x = π/12 + kπ/2

где k - целое число.