Question

Доказать, что число 11n^3+n делится на 6 при любом n€N.

Answer 1

1) Проверим для n=1:
11*1+1=12, на 6 делится.
2) Предположим, что при n=k предположение верно, т.е. 11k³+k делится на 6.
Докажем, что оно будет верно и при n=k+1:
11(k+1)³+(k+1) = 11k³+33k²+34k+12 = (11k³+k) + 3(11k²+11k+4)
11k³+k делится на 6 по предположению;
11k²+11k+4: при чётном k (k=2m) 44m²+22m+4 делится на 2
при нечётном k (k=2m+1) 44m²+66m+26 делится на 2
Значит 3*(11k²+11k+4) делится на 6, отсюда (11k³+k) + 3(11k²+11k+4) делится на 6, значит, предположение верно, и 11n³+n делится на 6 при любых n∈N

Answer 2

Для доказательства, что число 11n^3 + n делится на 6 при любом n ∈ N, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

Базовый шаг:

Для n = 1, мы можем подставить значение n в выражение 11n^3 + n и убедиться, что оно делится на 6: 11(1)^3 + 1 = 11 + 1 = 12, что делится на 6.

Предположение индукции:

Предположим, что для некоторого k, выражение 11k^3 + k делится на 6.

Индукционный шаг:

Докажем, что если выражение 11k^3 + k делится на 6, то и выражение 11(k+1)^3 + (k+1) также делится на 6.

Раскроем скобки в выражении 11(k+1)^3 + (k+1): 11(k+1)^3 + (k+1) = 11(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + (k+1) = 11k^3 + 33k^2 + 33k + 11 + k + 1 = (11k^3 + k) + 33k^2 + 33k + 12.

Мы знаем, что 11k^3 + k делится на 6 по предположению индукции. Также заметим, что 33k^2 + 33k + 12 является кратным 6, так как каждый из его членов делится на 6.

Следовательно, (11k^3 + k) + 33k^2 + 33k + 12 также делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что если выражение 11k^3 + k делится на 6, то и выражение 11(k+1)^3 + (k+1) также делится на 6.

Исходя из базового шага и индукционного шага, мы можем заключить, что число 11n^3 + n делится на 6 при любом n ∈ N.

Примечание: Данный ответ не содержит прямых цитат из источников, так как не было найдено конкретных цитат, подтверждающих данное утверждение. Однако, доказательство проведено на основе математической индукции, что является стандартным методом доказательства в математике.