Question

Составить уравнение касательной к функции f(x)=2x^2+1/3x^3,в точке с абсциссой x0= -3

Answer 1

F(x)=2x^2+1/3x^3
f'(x)=4x+x^2
4x+x^2=0
x^2+4x=0
x(x+4)=0
x=0
x=-4
f(-3)=18+7=25
y=-4+25(x+3)
y=-4+25x+75
y=24x+71

Answer 2

Чтобы составить уравнение касательной к функции f(x) = 2x^2 + (1/3)x^3 в точке с абсциссой x0 = -3, мы должны использовать производную функции. Производная функции показывает наклон касательной в каждой точке.

Для начала найдем производную функции f(x). Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и сложим результаты:

f'(x) = d/dx (2x^2) + d/dx ((1/3)x^3)

Производная слагаемого 2x^2 равна:

d/dx (2x^2) = 4x

Производная слагаемого (1/3)x^3 равна:

d/dx ((1/3)x^3) = (1/3) * 3x^2 = x^2

Теперь, чтобы найти наклон касательной в точке x0 = -3, подставим эту точку в производную функции:

f'(-3) = 4(-3) + (-3)^2 = -12 + 9 = -3

Таким образом, наклон касательной в точке x0 = -3 равен -3.

Теперь нам нужно найти значение функции f(x) в точке x0 = -3. Подставим x = -3 в исходную функцию:

f(-3) = 2(-3)^2 + (1/3)(-3)^3 = 2(9) + (1/3)(-27) = 18 - 9 = 9

Теперь мы можем использовать найденный наклон касательной и значение функции в точке, чтобы составить уравнение касательной.

Уравнение касательной имеет вид y = mx + b, где m - наклон касательной, а b - точка пересечения с осью ординат.

Так как у нас есть наклон касательной m = -3 и точка (-3, 9), мы можем записать уравнение касательной:

y = -3x + b

Подставим координаты точки (-3, 9) в уравнение:

9 = -3(-3) + b 9 = 9 + b

Отсюда следует, что b = 0.

Таким образом, уравнение касательной к функции f(x) = 2x^2 + (1/3)x^3 в точке с абсциссой x0 = -3 будет:

y = -3x

Ответ: Уравнение касательной к функции f(x) = 2x^2 + (1/3)x^3 в точке с абсциссой x0 = -3: y = -3x