Question

Решить показательное неравенство: (√2+1)^(x)+1<2*(√2-1)^x

Answer 1

√2-1=1/(√2+1)
(√2+1)^x=a
a+1-2/a<0
a²+a-2<0
a1+a2=-1 U a1*a2=-2
a1=-2 U a2=1
-2<a<1
-2<(√2+1)^x<1
x<0
x∈(-∞;0)

Answer 2

Для решения данного показательного неравенства, мы можем применить некоторые свойства показательных функций и алгебраические преобразования. Давайте разберемся по шагам:

1. Вначале применим свойство показательной функции, которое гласит, что для любых положительных чисел a и b, если a^x < b^x, то x < y. В данном случае, у нас есть неравенство (√2 + 1)^x + 1 < 2 * (√2 - 1)^x. Мы можем применить это свойство и переписать неравенство следующим образом:

(√2 + 1)^x < 2 * (√2 - 1)^x - 1

2. Затем применим алгебраическое преобразование, чтобы избавиться от знака корня. Возведем обе части неравенства в квадрат:

[(√2 + 1)^x]^2 < [2 * (√2 - 1)^x - 1]^2

(√2 + 1)^(2x) < [2 * (√2 - 1)^x - 1]^2

3. Раскроем квадрат в правой части неравенства:

(√2 + 1)^(2x) < 4 * (√2 - 1)^(2x) - 4 * (√2 - 1)^x + 1

4. Теперь мы можем применить свойство показательной функции, которое гласит, что если a^x < b^x, то a^x - b^x < 0. Применим это свойство к правой части неравенства:

(√2 + 1)^(2x) - 4 * (√2 - 1)^(2x) + 4 * (√2 - 1)^x - 1 < 0

5. Полученное уравнение является квадратным уравнением относительно (√2 - 1)^x. Давайте обозначим z = (√2 - 1)^x и перепишем уравнение:

z^2 - 4z + 4z - 1 < 0

z^2 - 1 < 0

6. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого найдем корни:

z = (√2 - 1)^x

z^2 - 1 = 0

(z - 1)(z + 1) < 0

7. Решим полученное неравенство. Мы видим, что неравенство будет выполнено, если (z - 1) и (z + 1) имеют разные знаки. Так как (√2 - 1)^x > 0 для любого значения x, мы можем сказать, что:

(z - 1) < 0 и (z + 1) > 0

8. Решим полученные неравенства:

z - 1 < 0 z + 1 > 0

(√2 - 1)^x - 1 < 0 (√2 - 1)^x > -1

9. Так как (√2 - 1)^x > 0 для любого значения x, мы можем сказать, что неравенство выполняется для всех значений x.

Таким образом, решение показательного неравенства (√2 + 1)^(x) + 1 < 2 * (√2 - 1)^x - это любое значение x.