Question

Решите уравнение | x^2 + x | = | 3x + 3 |

Answer 1

Можно было раскрыть модули по определению, но поступим несколько иначе. Найдём интервалы, где выражения под моудем меняют свои знаки.

$x^2 + x = x(x+1) = 0 \\ \\ +: x \leq -1 \\ -: -1\ \textless \ x\ \textless \ 0 \\ +: x \geq 0 \\ \\ \\ 3x+3=3(x+1) \\ \\ -: x \leq -1 \\ +: x\ \textgreater \ -1$

На основе этого выделяем три интервала:

1) (∞; -1]
В левой части под модулем выражение больше нуля, раскрываем модуль по определению: x² + x. В правой части под модулем отрицательное выражение, раскрываем модуль и получаем: (-3х - 3).
Решаем
$x^2 +x = -3x-3 \\ \\ x^2+4x+3 = 0 \\ \\ x_1=-1; x_2 =-3$
Подходят оба корня.

2) [-1; 0] В левой части под модулем выражение меньше нуля, значит, (-x² - x). В правой части выражение под модулем больше нуля, значит, (3x + 3).
Решаем
$-x^2-x = 3x+3 \\ \\ x^2+4x+3=0 \\ \\ x_1=-1; x_2=-3$
Здесь мы можем взять только один корень x = -1, который у нас уже есть.

3) [0; +∞] Оба выражения под модулем больше нуля, значит:
$x^2 + x = 3x +3 \\ \\ x^2 -2x -3 =0 \\ \\ x_=-1; x_2 =3$
Подходит один корень x = 3.

Ответ: x = -3;  x = -1;  x = 3

Answer 2

Для решения уравнения | x^2 + x | = | 3x + 3 |, мы можем разбить его на два случая, в зависимости от знака внутри модулей. Обратите внимание, что модуль числа всегда дает неотрицательный результат.

Разбор случая 1: x^2 + x = 3x + 3

В этом случае, мы можем решить уравнение, приведя все члены к одной стороне:

x^2 + x - 3x - 3 = 0

x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя факторизацию, завершение квадрата или квадратное уравнение.

Попробуем факторизацию:

(x - 3)(x + 1) = 0

Теперь мы имеем два возможных значения для x:

x - 3 = 0 --> x = 3

x + 1 = 0 --> x = -1

Разбор случая 2: x^2 + x = -(3x + 3)

В этом случае, мы сначала приведем уравнение к стандартной форме, перенося все члены на одну сторону и упрощая:

x^2 + x + 3x + 3 = 0

x^2 + 4x + 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, используя ту же методику, что и в предыдущем случае.

Попробуем факторизацию:

(x + 3)(x + 1) = 0

Теперь мы имеем два возможных значения для x:

x + 3 = 0 --> x = -3

x + 1 = 0 --> x = -1

Итоговые решения уравнения:

Таким образом, уравнение | x^2 + x | = | 3x + 3 | имеет четыре решения:

x = 3, x = -1, x = -3, x = -1

Проверим эти значения, подставив их обратно в исходное уравнение. Если они удовлетворяют уравнению, то они являются решениями.

Подставим x = 3:

| 3^2 + 3 | = | 3(3) + 3 |

| 12 | = | 12 |

Условие выполняется, поэтому x = 3 является решением.

Подставим x = -1:

| (-1)^2 + (-1) | = | 3(-1) + 3 |

| 0 | = | 0 |

Условие выполняется, поэтому x = -1 является решением.

Подставим x = -3:

| (-3)^2 + (-3) | = | 3(-3) + 3 |

| 12 | = | -6 |

Условие не выполняется, поэтому x = -3 не является решением.

Подставим x = -1:

| (-1)^2 + (-1) | = | 3(-1) + 3 |

| 0 | = | 0 |

Условие выполняется, поэтому x = -1 является решением.

Таким образом, решениями уравнения | x^2 + x | = | 3x + 3 | являются x = 3 и x = -1.