Question

Площадь прямоугольника 192 см.кв. площадь круга описанного около этого прямоугольника равна 100 пи см.кв. Найдите стороны этого прямоугольника

Answer 1

Площадь прямоугольника вычисляется по формуле:
$S_1 = ab$
Площадь круга находится по формуле:
$S_2 = \pi R^{2}$ = $\frac{ \pi ( a^{2} +b^{2)} }{4}$, т.к. радиус описанной около прямоугольника равен $R = \frac{1}{2} d$, где d - диагональ, а диагональ в свою очередь по теореме Пифагора равна $\sqrt{ a^{2} + b^{2} }$. Составим и решим систему двух уравнений:

$\left \{ {{ \frac{ \pi (a ^{2}+b^{2}) }{4}=100 \pi } \atop {ab = 192}}} \right.$ 

$\left \{ { a^{2} +b^{2} = 400 }\atop {ab = 192}} \right.$

$\left \{ { a^{2} +b^{2} + 2ab - 2ab = 400 }\atop {ab = 192}} \right.$

$\left \{ { (a + b) ^{2} - 2*192 = 400 }\atop {ab = 192}} \right.$

$\left \{ { (a + b) ^{2} - 384 = 400 }\atop {ab = 192}} \right.$

$\left \{ { (a + b) ^{2} = 784 }\atop {ab = 192}} \right.$

$\left \{ a + b = 28 }\atop {ab = 192}} \right.$

$\left \{ b = 28 - a}\atop {a(28 - a) = 192}} \right.$

$\left \{ b = 28 - a}\atop {-a ^{2} +28a - 192 = 0}} \right.$

$\left \{ b = 28 - a}\atop {a ^{2} -28a + 192 = 0}} \right.$

Решим второе уравнение через дискриминант:

$D = 28 ^{2} - 192*4 = 784 - 768 = 16 = 4 ^{2}$

$a_1 = \frac{28 + 4}{2} = \frac{32}{2} = 16$

$a_2 = \frac{28 - 4}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Значит, стороны равны 12 и 16 см.

Ответ: 12 см; 16 см.

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно. У нас есть прямоугольник с площадью 192 см² и окружность, описанная вокруг этого прямоугольника, с площадью 100π см².

Нахождение сторон прямоугольника

Пусть длина прямоугольника будет а, а ширина - b. Тогда площадь прямоугольника можно выразить следующим образом:

Площадь = длина × ширина

Из условия задачи мы знаем, что площадь прямоугольника равна 192 см², поэтому:

192 = а × b

Нахождение радиуса окружности

Площадь окружности можно найти по формуле:

Площадь = π × радиус²

Мы знаем, что площадь окружности равна 100π см², поэтому:

100π = π × радиус²

Связь между прямоугольником и окружностью

Окружность описана вокруг прямоугольника. Это означает, что диаметр окружности равен длине прямоугольника, а радиус равен половине длины прямоугольника.

Таким образом, мы можем записать следующее уравнение:

2 × радиус = а

Нахождение сторон прямоугольника и радиуса окружности

Теперь мы можем использовать полученные уравнения для решения задачи.

Из уравнения площади прямоугольника (192 = а × b) можно найти одну из сторон прямоугольника. Давайте решим это уравнение относительно a:

192 = а × b а = 192 / b

Теперь мы можем заменить а в уравнении связи между прямоугольником и окружностью:

2 × радиус = а 2 × радиус = 192 / b

Так как радиус окружности равен половине длины прямоугольника, то:

радиус = (192 / b) / 2 радиус = 96 / b

Итоговый расчет

Теперь мы можем заменить радиус в уравнении площади окружности (100π = π × радиус²):

100π = π × (96 / b)²

Мы можем сократить π на обеих сторонах уравнения:

100 = (96 / b)²

Мы можем решить это уравнение относительно b:

(96 / b)² = 100 96 / b = 10 96 = 10b b = 9.6

Теперь мы можем найти а, используя уравнение площади прямоугольника:

192 = а × 9.6 а = 20

Таким образом, стороны этого прямоугольника равны 20 см и 9.6 см.