Question

Tg( \pi sin \pi x)= \sqrt{3}

Answer 1

$\mathop{\mathrm{tg}}(\pi\sin\pi x)=\sqrt3\\ \pi\sin\pi x=\dfrac\pi3+\pi k,\;k\in\mathbb Z\\ \sin\pi x=\dfrac13+k,\;k\in\mathbb Z$

Синус принимает значения от -1 до 1, поэтому уравнение будет иметь решения, только если -1 ≤ 1/3 + k ≤ 1, т.е. k = -1 или k = 0.

1) k = -1
$\sin\pi x=-\dfrac23\\ \pi x=(-1)^{n+1}\arcsin\dfrac23+\pi n,\; n\in\mathbb Z\\ x=\dfrac{(-1)^{n+1}}\pi\arcsin\dfrac23+n,\;n\in\mathbb Z$

2) k = 0
$\sin\pi x=\dfrac13\\ \pi x=(-1)^{n}\arcsin\dfrac13+\pi n,\; n\in\mathbb Z\\ x=\dfrac{(-1)^n}{\pi}\arcsin\dfrac13+n,\;n\in\mathbb Z$