Question

ДАЮ 70 БАЛЛОВ!! Решите уравнения 7,8,9,11 (С теми указаниями, что написаны в условии, условие на фото)

Answer 1

11) $4x^4+3x^3-14x^2+3x+4=0$
x=0 - не корень уравнения

делим обе части на $x^2$
получим
$4(x^2+\frac{1}{x^2})+3(x+\frac{1}{x})-14=0$
делаем замену
$x+\frac{1}{x}=t$
при єтом
$x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2-2=t^2-2$
получаем уравнение

$4(t^2-2)+3t-14=0$
$4t^2+3t-8-14=0$
$4t^2+3t-22=0$
$D=3^2-4*4*(-22)=361=19^2$
$t_1=\frac{-3-19}{2*4}=-2.75$
$t_2=\frac{-3+19}{2*4}=2$

возвращаемся к замене
1) $x+\frac{1}{x}=-2.75$
$x^2+2.75x+1=0$
$D=2.75^2-4*1*1=3.5625$
$x_{1,2}=\frac{-2.75^+_-\sqrt{3.5625}}{2}$
2) $x+\frac{1}{x}=2$
$x^2-2x+1=0$
$(x-1)^2=0$
$x_{3,4}=1$ (//корень кратности 2//)

в ответе получается будут x1; x2; x3
==============================
9) $\frac{x^2-10x+15}{x^2-6x+15}=\frac{3x}{x^2-8x+15}$

x=0 - не корень уравнения

делим каждую дробь (числитель и знаменатель на х)
получим
$\frac{x+\frac{15}{x}-10}{x+\frac{15}{x}-6}=\frac{3}{x+\frac{15}{x}-8}$
делаем замену
$x+\frac{15}{x}=t$
получим уравнение
$\frac{t-10}{t-6}=\frac{3}{t-8}$
$(t-10)(t-8)=3(t-6)$
$t^2-18t+80=3t-18$
$t^2-21t+98=0$
$D=(-21)^2-4*1*98=59=7^2$
$t_1=\frac{21-7}{2*1}=7$
$t_2=\frac{21+7}{2*1}=14$
Возвращаемся к замене
1)$x+\frac{15}{x}=7$
$x^2-7x+15=0$
$D=(-7)^2-4*1*15=49-60=-11<0$
действительных корней нет
2) $x+\frac{15}{x}=14$
$x^2-14x+15=0$
$(x-15)(x+1)=0$
$x_1=15;x_2=-1$
проверяем что корни подходят (знаменатель не приравняется 0)
ответ: -1; 15
=====================================
8) $(\frac{x^2-2x+3}{x})^2-5x=\frac{15}{x}-16$
$(\frac{x+\frac{3}{x}-2)^2-5(x+\frac{3}{x}-2)+6=0$
делаем замену
$x+\frac{3}{x}-2=t$
получаем уравнение
$t^2-5t+6=0$
$(t-2)(t-3)=0$
$t_1=2; t_2=3$
Возвращаемся к замене
1) $x+\frac{3}{x}-2=2$
$x^2-4x+3=0$
$(x-1)(x-3)=0$
$x_1=1;x_2=3$
2)$x+\frac{3}{x}-2=3$
$x^2-5x+3=0$
$D=(-5)^2-4*1*3=25-12=13$
$x_{3,4}=\frac{5^+_-\sqrt{13}}{2}$
в ответе будут все найденные корни (ОДЗ уравнения х не равно 0 они удовлетворяют)
=========================
7) $\frac{2x^2-3x+5}{3x+5}+\frac{6x+10}{2x^2-3x+5}=3$
делаем замену
$\frac{2x^2-3x+5}{3x+5}=t$
получаем уравнение
$t+\frac{2}{t}=3$
$t^2-3t+2=0$
$(t-1)(t-2)=0$
$t_1=;t_2=2$
Возвращаемся к замене
1)$\frac{2x^2-3x+5}{3x+5}=1$
$2x^2-3x+5=3x+5$
$2x^2-6x=0$
$x^2-3x=0$
$x(x-3)=0$
$x_1=0;x_2=3$
2) \frac{2x^2-3x+5}{3x+5}=2[/tex]
$2x^2-3x+5=6x+10$
$2x^2-9x-5=0$
$D=(-9)^2-4*2*(-5)=121=11^2$
$x_3=\frac{9-11}{2*2}=-0.5$
$x_4=\frac{9+11}{2*2}=5$
проверкой убеждаемся что все 4 найденные решения подходят