Question

Докажите,что для любого натурального n верно равенство: 1) (n+1)!-n!+(n-1)!=(n^2+1)(n-1)! 2) (n+1)! \ (n-1)! =n^2+n

Answer 1

Определение факториала заключается в следующих двух утверждениях:
$n!=n*(n-1)*...*2*1=1*2*...*(n-1)*n$
$0!=1$

1) $(n+1)!-n!+(n-1)!=(n+1)*n!-n*(n-1)!+(n-1)!=$
$=(n+1)*n*(n-1)!-n*(n-1)!+1*(n-1)!=$
$=[(n+1)*n-n+1]*(n-1)!=(n^2+n-n+1)*(n-1)!=$
$=(n^2+1)*(n-1)!$

2) $\frac{(n+1)!}{(n-1)!} = \frac{(n+1)*n*(n-1)!}{(n-1)!} =(n+1)*n=n^2+n$