Question

Sin^2(6x)+sin^2(4x)=1

Answer 1

Вот так скорее всего...

Answer 2

Давайте решим данное уравнение подробно. У нас есть уравнение:

sin^2(6x) + sin^2(4x) = 1

Для начала, давайте заменим sin^2(6x) и sin^2(4x) с помощью тригонометрической тождества:

sin^2(6x) = (1 - cos(12x)) / 2 sin^2(4x) = (1 - cos(8x)) / 2

Подставим эти значения в исходное уравнение:

(1 - cos(12x)) / 2 + (1 - cos(8x)) / 2 = 1

Упростим уравнение:

1 - cos(12x) + 1 - cos(8x) = 2

- cos(12x) - cos(8x) = 0

Поскольку у нас есть сумма двух косинусов, мы можем использовать тригонометрическую формулу для cos(A) + cos(B):

cos(A) + cos(B) = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

Применим эту формулу к уравнению:

-2 * cos(10x) * cos(2x) = 0

Теперь у нас есть произведение двух сомножителей, которое равно нулю. Таким образом, один из сомножителей должен быть равен нулю:

cos(10x) = 0 или cos(2x) = 0

Решим каждое из этих уравнений по отдельности.

Уравнение 1: cos(10x) = 0

Для решения этого уравнения, найдем значения x, при которых cos(10x) равен нулю. Зная, что cos(θ) = 0, когда θ равно π/2 + πk, где k - целое число, подставим эту информацию:

10x = π/2 + πk x = (π/2 + πk) / 10

Таким образом, решениями уравнения cos(10x) = 0 будут значения x, вычисленные по формуле x = (π/2 + πk) / 10, где k - целое число.

Уравнение 2: cos(2x) = 0

Аналогично, найдем значения x, при которых cos(2x) равен нулю. Зная, что cos(θ) = 0, когда θ равно π/2 + πk, где k - целое число, подставим эту информацию:

2x = π/2 + πk x = (π/2 + πk) / 2

Таким образом, решениями уравнения cos(2x) = 0 будут значения x, вычисленные по формуле x = (π/2 + πk) / 2, где k - целое число.

Итак, мы получили два набора решений для исходного уравнения sin^2(6x) + sin^2(4x) = 1:

1. Для уравнения cos(10x) = 0: x = (π/2 + πk) / 10, где k - целое число.

2. Для уравнения cos(2x) = 0: x = (π/2 + πk) / 2, где k - целое число.

Обратите внимание, что в нашем решении мы использовали тригонометрические тождества и тригонометрические формулы, чтобы упростить уравнение и найти его решения.

Answer 3

Для решения данного уравнения, можно использовать тригонометрическую формулу, которая позволяет переписать квадраты синусов в виде выражений без квадратов.

Тригонометрическая формула для синуса квадрата гласит:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2

Применяя данную формулу к обоим слагаемым в левой части уравнения, получим:

(1 - cos(12x))/2 + (1 - cos(8x))/2 = 1

Далее, умножаем обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от дробей:

1 - cos(12x) + 1 - cos(8x) = 2

После сокращения и реорганизации слагаемых, получаем:

2 - cos(12x) - cos(8x) = 2

Вычитая 2 из обоих частей уравнения, имеем:

- cos(12x) - cos(8x) = 0

Затем, применяем тригонометрическую формулу для разности косинусов:

cos(A) - cos(B) = -2 * sin((A+B)/2) * sin((A-B)/2)

Подставляя значения A = 12x и B = 8x в данную формулу, получаем:

-2 * sin((12x + 8x)/2) * sin((12x - 8x)/2) = 0

Упрощая выражения внутри синусов:

-2 * sin(10x) * sin(2x) = 0

Таким образом, получаем два независимых уравнения:

1) sin(10x) = 0 2) sin(2x) = 0

Решая первое уравнение, имеем:

10x = nπ, где n - целое число

x = nπ/10

Аналогично, решая второе уравнение, получим:

2x = mπ, где m - целое число

x = mπ/2

Таким образом, общее решение исходного уравнения будет представлено следующим образом:

x = nπ/10, где n - целое число

или

x = mπ/2, где m - целое число