Question

Найти промежутки возрастания и убывания функции f(X)=x+9/x

Answer 1

D(y)∈(-∞;0) U (0;∞)
y`=1-9/x²=(x²-9)/x²=(x=3)(x+3)/x²=0
x=3  x=-3
             +                           _                  +
-----------------(-3)-----------------------(3)--------------------
возр            max  убыв                min  возр

Answer 2

Для анализа возрастания и убывания функции f(x) = x + 9/x, нам нужно найти производную функции и определить ее знак на различных интервалах.

Найдем производную функции:

Для нахождения производной f'(x) используем правило дифференцирования для суммы и частного функций:

f'(x) = (x)' + (9/x)'.

Производная первого слагаемого (x)' равна 1, так как производная переменной по самой себе равна 1.

Производная второго слагаемого (9/x)' вычисляется с помощью правила дифференцирования частного функций: (u/v)' = (u'v - uv') / v^2.

В случае функции 9/x, u = 9 и v = x. Тогда (9/x)' = (9'x - 9x') / x^2 = (0 - 9) / x^2 = -9 / x^2.

Собирая все вместе, получаем:

f'(x) = 1 - 9 / x^2.

Определение знаков производной:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, мы должны определить знак производной на различных интервалах. Для этого решим неравенство:

f'(x) > 0.

1 - 9 / x^2 > 0.

Умножим обе части на x^2 (поскольку x^2 > 0):

x^2 - 9 > 0.

(x - 3)(x + 3) > 0.

Теперь мы можем построить таблицу знаков для определения промежутков возрастания и убывания функции:

| x | (-∞, -3) | (-3, 0) | (0, 3) | (3, +∞) | |:-----:|:-------:|:------:|:-----:|:-------:| | f'(x) | - | + | - | + |

Промежутки возрастания и убывания функции:

Исходя из таблицы знаков, функция f(x) возрастает на интервалах (-3, 0) и (3, +∞), и убывает на интервалах (-∞, -3) и (0, 3).

Таким образом, промежутки возрастания функции f(x) = x + 9/x находятся между -3 и 0, а также между 3 и плюс бесконечность, а промежутки убывания находятся между минус бесконечностью и -3, а также между 0 и 3.