Question

Найти lim tg7x/x при x ->0

Answer 1

Ответ в приложении...
В решении используется правило Лопиталя: если f(x) и g(x) непрерывны на области, их деление даёт неопределённость вида 0/0 или inf/inf и пределы их производных существуют по Коши - предел деления функций равен пределу деления их производных.

Если требуется высокий уровень формализации - стоит добавить в решении что f(x)=tg(7x) и g(x)=x - элементарные функции, а значит - непрерывны на всей области определения.
Плюс, $lim \frac{7}{cos^{2}(7x)} =7,lim1=1$ - пределы производных существуют по Коши.
Значит имеем право применить правило Лопиталя (дальше идёт решение из приложения).

Answer 2

Конечно, рассчитаем предел \( \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(7x)}}{x} \).

Чтобы вычислить этот предел, можно воспользоваться известным пределом:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(x)}}{x} = 1 \]

Но здесь у нас функция \(\tan(7x)\), а не просто \(\tan(x)\). Однако, мы можем воспользоваться свойством подобия функций.

Давайте внесём замену \(u = 7x\), тогда \(x = \frac{u}{7}\). Когда \(x \to 0\), \(u\) тоже будет стремиться к нулю:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(7x)}}{x} = \lim_{{u \to 0}} \frac{{\tan(u)}}{\frac{u}{7}} \]

Поскольку предел \(\lim_{{u \to 0}} \frac{{\tan(u)}}{u} = 1\), мы можем воспользоваться этим результатом и получить:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(7x)}}{x} = 7 \cdot \lim_{{u \to 0}} \frac{{\tan(u)}}{u} = 7 \cdot 1 = 7 \]

Итак, \(\lim_{{x \to 0}} \frac{{\tan(7x)}}{x} = 7\).