Question

Вычислить определитель третьего порядка:а) по правилу треугольников; б) разложением по элементам строки или столбца. 4 -3 21 1 12 4 -1

Answer 1

Ответ на б) на рисунке  а)  4•1•(-1) - 4•1•4 - 1•(-3)•(-1) + 1•2•4 + 2•(-3)•1 - 2•2•1 = -25

Answer 2

Давайте вычислим определитель третьего порядка для заданной матрицы. У нас есть матрица 3x3:

\[A = \begin{bmatrix} 4 & -3 & 21 \\ 1 & 12 & 4 \\ -1 & 0 & -1 \end{bmatrix}\]

а) Вычисление определителя по правилу треугольников:

Определитель матрицы третьего порядка можно найти по формуле:

\[det(A) = a_{11} \cdot a_{22} \cdot a_{33} + a_{12} \cdot a_{23} \cdot a_{31} + a_{13} \cdot a_{21} \cdot a_{32} - a_{13} \cdot a_{22} \cdot a_{31} - a_{11} \cdot a_{23} \cdot a_{32} - a_{12} \cdot a_{21} \cdot a_{33}\]

Подставим значения из матрицы:

\[det(A) = (4 \cdot 12 \cdot (-1)) + ((-3) \cdot 4 \cdot (-1)) + (21 \cdot 1 \cdot 0) - ((-1) \cdot 12 \cdot 21) - (4 \cdot (-3) \cdot 0) - (1 \cdot (-1) \cdot 21)\]

Вычисляем:

\[det(A) = -48 + 12 + 0 + 252 + 0 - 21 = 195\]

б) Вычисление определителя разложением по элементам строки или столбца:

Выберем, например, первую строку для разложения. Формула для определителя по разложению по строке \(i\) выглядит так:

\[det(A) = a_{i1} \cdot C_{i1} + a_{i2} \cdot C_{i2} + a_{i3} \cdot C_{i3}\]

где \(C_{ij}\) - это алгебраическое дополнение элемента \(a_{ij}\).

Для первой строки:

\[det(A) = 4 \cdot C_{11} - 3 \cdot C_{12} + 21 \cdot C_{13}\]

Теперь найдем алгебраические дополнения для каждого элемента:

\[C_{11} = (-1)^{1+1} \cdot M_{11} = 1 \cdot 12 = 12\]

\[C_{12} = (-1)^{1+2} \cdot M_{12} = -1 \cdot 4 = -4\]

\[C_{13} = (-1)^{1+3} \cdot M_{13} = 1 \cdot 0 = 0\]

Подставим значения:

\[det(A) = 4 \cdot 12 - 3 \cdot (-4) + 21 \cdot 0 = 48 + 12 + 0 = 60\]

Таким образом, определитель матрицы по обоим методам равен 195.