Question

Сума 3 цілих чисел поділяється на 6. Довести, що й сума кубів цих чисел поділяється на 6.

Answer 1

Числа x і x^3 дають при діленні на 6 однакові залишки

(x=6k           x^3=(6k^3)=6^3k^3=6l

x=6k+1         x^3=(6k+1)^3=(6k)^3+3*(6k)^2+3*(6k)+1^3=6l+1)

аналогічно і решта

2 і 2^3=8=6+2

3 і 3^3=27=24+3=4*6+3

4 і 4^3=64=60+4=15*6+4

5 і 5^3=125=120+5=20*6+5).

Тому якщо a+b+c ділиться на 6, то число a^3+b^3+c^3 теж ділиться на 6

Answer 2

Для того чтобы довести, что сума кубов трех целых чисел, сума которых делится на 6, также делится на 6, давайте рассмотрим эти числа.

Обозначим три целых числа как \(a\), \(b\), и \(c\), а их суму как \(S = a + b + c\). Условие гласит, что \(S\) делится на 6, т.е., \(S \equiv 0 \pmod{6}\).

Тепер давайте рассмотрим суму кубов этих чисел:

\[S^3 = (a + b + c)^3.\]

Развернем это выражение, используя бином Ньютона:

\[S^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3b^2c + 3bc^2 + 3c^2a + 3ca^2 + 6abc.\]

Тепер давайте рассмотрим остаток от деления \(S^3\) на 6. Обозначим \(R\) как этот остаток, т.е., \(S^3 \equiv R \pmod{6}\).

Мы знаем, что \(S \equiv 0 \pmod{6}\), поэтому каждый из членов \(3a^2b, 3ab^2, 3b^2c, 3bc^2, 3c^2a, 3ca^2\) также делится на 6.

Таким образом, остается рассмотреть остаток от деления суммы кубов \(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc\) на 6.

Тепер обратим внимание на слагаемое \(6abc\). У нас есть условие, что \(S = a + b + c\) делится на 6, что означает, что каждое из чисел \(a, b, c\) также делится на 6. Следовательно, \(6abc\) делится на \(6 \cdot 6 = 36\).

Таким образом, \(a^3 + b^3 + c^3 + 6abc\) делится на 6. Это означает, что \(S^3\) также делится на 6.

Таким образом, мы доказали, что если сума трех целых чисел делится на 6, то и сума кубов этих чисел также делится на 6.