Question

Докажите,что выражение неотрицательно ,выделив два полных квадрата двучленов: x²-4x+b²-10b+29.

Answer 1

X^2-4x+4+b^2-10b+25=(x-2)^2+(b-5)^2. так как выражения в скобках положительны при любых значениях переменных , следовательно и исходное выражение неотрицательно.

Answer 2

Для доказательства неотрицательности выражения \(x^2 - 4x + b^2 - 10b + 29\), давайте выделим полные квадраты для членов, содержащих переменные \(x\) и \(b\).

1. Для члена \(x^2 - 4x\):

\[ x^2 - 4x = (x^2 - 4x + 4) - 4 = (x - 2)^2 - 4 \]

2. Для члена \(b^2 - 10b\):

\[ b^2 - 10b = (b^2 - 10b + 25) - 25 = (b - 5)^2 - 25 \]

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:

\[ (x - 2)^2 - 4 + (b - 5)^2 - 25 + 29 \]

Сгруппируем члены:

\[ (x - 2)^2 + (b - 5)^2 \]

Это выражение представляет собой сумму двух полных квадратов. Поскольку квадрат любого вещественного числа неотрицателен, то их сумма также неотрицательна.

Таким образом, мы доказали, что выражение \(x^2 - 4x + b^2 - 10b + 29\) неотрицательно для любых значений переменных \(x\) и \(b\).