Question

Довести, що при всiх дiйсних значеннях змiнних нерiвнiсть правильна: 10х(в квадрате)-6ху+у(в квадрате)-4х+6=0

Answer 1

Чего-то я не поняла охарактеризуй по понятнее

Answer 2

Нерiвнiсть 10х^2 - 6ху + у^2 - 4х + 6 = 0 можна переписати у такому виглядi:

у^2 - 6ху + 10х^2 - 4х + 6 = 0.

Для доведення правильностi даної нерiвностi треба показати, що вона справедлива для будь-яких дiйсних значень змiнних х та у.

Зробимо перехiд до квадратного рiвняння вiдносно змiнної х, залишивши у як константу:

(10)х^2 - (6у + 4)х + (у^2 + 6) = 0.

А тепер знайдемо дискримiнант даного рiвняння:

D = (6у + 4)^2 - 4(10)(у^2 + 6).

Пiсля розвинення цього виразу отримаємо:

D = 36у^2 + 48у + 16 - 40у^2 - 240.

Скоротимо цей вираз:

D = -4у^2 + 48у - 224.

Тепер зауважимо, що отриманий вираз можна розглядати як квадратичну функцiю у вiдношеннi до змiнної у, ad=-4, bd=48 та cd=-224. Для того, щоб ця функцiя була додатною для будь-якого значення у, необхiдно, що дискримiнант D буде менше нуля (D<0), iнакше у цей вираз би вiдповiдав би додатний знак, що протирiчило б нашiй вимозi.

Оскiльки D = -4у^2 + 48у - 224, то можемо скласти i скоротити нерiвнiсть D < 0:

-4у^2 + 48у - 224 < 0.

З нерiвностi можна видiлити коефiцiєнти:

у^2 - 12у + 56 > 0.

Далi треба розв'язати квадратне рiвняння, щоб знайти межi тих значень у, для яких нерiвнiсть правильна.

Знайдемо вершину параболи, яка дорiвнює х = -b / (2а):

у = (12) / (2) = 6.

Пiдставляємо це значення у рiвняння i отримуємо:

6^2 - 12*6 + 56 = 36 - 72 + 56 = 20.

Таким чином, вершина параболи має координати (6, 20).

Далi можемо побудувати графiк даної квадратної функцiї i перевiрити, для яких значень у виконується нерiвнiсть.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline y & x^2 - 12x + 56 \\ \hline 21 & -5 \\ \hline 20 & 6 \\ \hline 19 & 19 \\ \hline \end{array} \]

На основi даної таблицi можна зробити висновок, що нерiвнiсть Y > 20 виконується для будь-якого значення у, окрiм точки (6, 20).

Таким чином, ми показали, що дана нерiвнiсть справедлива для будь-яких дiйсних значень змiнних х та у, окрiм точки (6, 20).