Question

У= cos(x\3 + п\4). x0= п\4. Найдите значение производной функции в заданной точке

Answer 1

-1/3sin(x\3 + п\4)
 в точке х0=П/4   =-1/3sin(П/4+П/4)=-1/3sinП/2=-1/3*1=-1/3

Answer 2

Конечно, давайте решим задачу.

У вас дана функция \(U = \cos\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right)\) и точка \(x_0 = \frac{\pi}{4}\). Нам нужно найти значение производной этой функции в данной точке.

1. Начнем с нахождения производной функции \(U\) по переменной \(x\). Для этого воспользуемся правилом дифференцирования композиции функций (цепного правила). Пусть \(f(u) = \cos(u)\) и \(g(x) = \frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\). Тогда:

\[U'(x) = -\sin\left(\frac{x}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{3}\]

2. Теперь подставим \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) в выражение для производной:

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\frac{\pi}{4}}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{3}\]

3. Упростим выражение:

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{3}\]

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{3\pi}{12} + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \frac{1}{3}\]

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{4\pi}{12}\right) \cdot \frac{1}{3}\]

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{3}\right) \cdot \frac{1}{3}\]

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}\]

\[U'\left(\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{6}\]

Таким образом, значение производной функции \(U\) в точке \(x_0 = \frac{\pi}{4}\) равно \(-\frac{\sqrt{3}}{6}\).