Question

Подсчитать количество различных перестановок цифр числа 111234, при которых три цифры 1 не стояли бы рядом?

Answer 1

Это будет конечно же 5

Answer 2

Чтобы подсчитать количество различных перестановок цифр числа 111234, при которых три цифры 1 не стоят рядом, можно использовать комбинаторику.

Сначала найдем общее количество перестановок цифр числа 111234. Для этого используем формулу размещений без повторений:

n! / (n1! * n2! * ... * nk!),

где n - общее количество объектов, n1, n2, ..., nk - количество повторяющихся объектов.

В данном случае, n = 6 (всего цифр числа), n1 = 3 (количество цифр "1"), n2 = 1 (количество цифр "2"), n3 = 1 (количество цифр "3"), n4 = 1 (количество цифр "4").

Тогда общее количество перестановок равно:

6! / (3! * 1! * 1! * 1!) = 6! / 3! = (6 * 5 * 4) = 120.

Теперь найдем количество перестановок, при которых три цифры "1" не стоят рядом. Для этого рассмотрим все возможные варианты расстановки трех цифр "1" между оставшимися цифрами.

Каждая перестановка будет иметь вид:

_ _ _ X _ _ _ X _ _ _ X _ _ _,

где "X" обозначает цифру, которая не является "1".

Между тремя "1" между собой и в начале и конце между крайними цифрами могут находиться один или несколько пустых мест. Рассмотрим следующие варианты:

1) 1 1 1 _ _ _; 2) _ 1 1 1 _ _; 3) _ _ _ 1 1 1; 4) 1 1 1 _ _ _ _; 5) _ 1 1 1 _ _ _; 6) _ _ _ 1 1 1 _; 7) _ _ _ _ 1 1 1.

В каждом из указанных вариантов может быть разное количество пустых мест, но суммарно должно быть 3 места, чтобы расставить три "1". Таким образом, задача сводится к количеству комбинаций трех пустых мест из 6 возможных.

Используем формулу сочетаний без повторений:

C(n, k) = n! / ((n - k)! * k!),

где n - общее количество объектов, k - количество выбранных объектов.

В данном случае, n = 6 (общее количество пустых мест), k = 3 (количество выбранных пустых мест).

Тогда количество перестановок, при которых три цифры "1" не стоят рядом, равно:

C(6, 3) = 6! / ((6 - 3)! * 3!) = (6 * 5 * 4) / (3 * 2 * 1) = 20.

Таким образом, количество различных перестановок цифр числа 111234, при которых три цифры 1 не стоят рядом, равно 20.