Question

Найти первообразные а) f(x)=10x⁴+x б) y=x-cosx

Answer 1

A) F(x)=10x⁵/5+x²/2
б) А оно точно правильно написано?
F(у)=x²-sinx

Answer 2

Первообразные функции

Первообразная функция (интеграл) является обратной операцией к дифференцированию. Если функция f(x) является производной другой функции F(x), то F(x) называется первообразной функцией для f(x).

Для каждой функции, существует бесконечное количество первообразных, так как добавление произвольной константы к первообразной не меняет ее производной.

Теперь давайте найдем первообразные для данных функций.

a) f(x) = 10x⁴ + x

Для нахождения первообразной f(x) = 10x⁴ + x, мы должны найти функцию F(x), производная которой равна f(x).

Интегрируя каждый член по отдельности, получим:

∫(10x⁴ + x) dx = ∫10x⁴ dx + ∫x dx

Упрощая, получим:

= (10/5)x⁵ + (1/2)x² + C

где C - произвольная константа.

Таким образом, первообразная функция F(x) для f(x) = 10x⁴ + x равна:

F(x) = (2/5)x⁵ + (1/2)x² + C

б) y = x - cos(x)

В данном случае мы должны найти функцию Y(x), производная которой равна y(x) = x - cos(x).

Интегрируя каждый член по отдельности, получим:

∫(x - cos(x)) dx = ∫x dx - ∫cos(x) dx

Упрощая, получим:

= (1/2)x² - sin(x) + C

где C - произвольная константа.

Таким образом, первообразная функция Y(x) для y(x) = x - cos(x) равна:

Y(x) = (1/2)x² - sin(x) + C

Это два примера первообразных для данных функций. Не забывайте, что существует бесконечное количество первообразных для каждой функции, отличающихся только на добавленную константу.