Question

1)Найдите промежутки возрастания функции f(x)=x³-6x²-36x2)Найдите все первообразные функции f(x)=x³+6x₂-33)Найдите точку минимума функции f(x)=4x-lnx+1

Answer 1

1)Найдем производную,приравняем к 0,чтобы найти критические точки.Определим знаки на интервалах,для определения убывания и возрастания.
f`(x)=3x²-12x-36=3(x²-4x-12)=0
(x²-4x-12)=0  по теореме Виета
x1+x2=4 U x1*x2=-12⇒x1=-2 U x2=6
               +                  _                    +
________________________________________
возр                -2     Убыв         6  возр
возр  x∈(-≈;-2) U (6;≈)
2)При нахождении первообразной степень увеличиваем на 1 и на этот показатель делим неизвестное
F(x)=$x^{4}/4$ - 6$x^{3} /3$ - 3x+C=$x^{4}/4$ - 2[tex] x^{3} - 3x+C
3)Делаем тоже самое , что в 1.Смена знака с минуса на плюс-минимум
f`(x)=4 -1/x=(4x-1)/x=0
4x-1=0⇒4x=1⇒x=1/4
       _              +
_____________________
                1/4
               min
ymin(1/4)=4*1/4-ln1/4+1=1-ln1+ln4+1=2+ln4
(1/4;2+ln4)

Answer 2

1) Найдем промежутки возрастания функции \(f(x) = x^3 - 6x^2 - 36x\). Для этого нужно выяснить, когда производная функции положительна.

\[f'(x) = 3x^2 - 12x - 36.\]

Найдем корни уравнения \(f'(x) = 0\), решив квадратное уравнение:

\[3x^2 - 12x - 36 = 0.\]

Делим обе стороны на 3:

\[x^2 - 4x - 12 = 0.\]

Факторизуем:

\[(x - 6)(x + 2) = 0.\]

Отсюда получаем два корня: \(x = 6\) и \(x = -2\). Теперь построим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x < -2 & -2 < x < 6 & x > 6 \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

Итак, производная положительна на интервале \((-2, 6)\). Следовательно, функция \(f(x)\) возрастает на этом промежутке.

2) Найдем все первообразные функции \(f(x) = x^3 + 6x^2 - 3\). Для этого найдем интеграл:

\[F(x) = \int (x^3 + 6x^2 - 3) \,dx.\]

Интегрируем каждый член по отдельности:

\[F(x) = \frac{1}{4}x^4 + 2x^3 - 3x + C,\]

где \(C\) — произвольная постоянная.

3) Найдем точку минимума функции \(f(x) = 4x - \ln(x) + 1\). Для этого найдем производную функции и приравняем ее к нулю:

\[f'(x) = 4 - \frac{1}{x}.\]

Приравняем к нулю:

\[4 - \frac{1}{x} = 0.\]

Решив уравнение, получим \(x = \frac{1}{4}\). Теперь проверим знак производной в окрестности этой точки:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x < \frac{1}{4} & x > \frac{1}{4} \\ \hline f'(x) & + & - \\ \hline \end{array} \]

Итак, производная меняет знак с плюса на минус в точке \(x = \frac{1}{4}\), что означает, что в этой точке функция \(f(x)\) имеет локальный максимум. Следовательно, точка \(\left(\frac{1}{4}, f\left(\frac{1}{4}\right)\right)\) является точкой минимума функции \(f(x)\).