Question

Сколькими способами можно составить шестизначное число из трех единиц, двух пятерок и одной девятки

Answer 1

Всего 6 цифр, шестизначное число из шести различных цифр можно составить перестановкой из шести, то есть
P₆=6!
Поскольку цифра 1 повторяется три раза, то количество чисел уменьшится в P₃=3! раз
Перестановка цифры 1 на место занятое цифрой 1 не изменит числа.
И цифра 5 повторяется два раза, то делим на перестановку P₂=2!

Ответ,$\frac{6!}{3!\cdot 2!} = \frac{720}{6\cdot2} =60$  чисел

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать комбинаторику. Давайте рассмотрим каждую цифру в шестизначном числе по отдельности.

У нас есть три единицы, две пятерки и одна девятка.

Выбор первой цифры: Мы можем выбрать любую из трех единиц. Таким образом, у нас есть 3 варианта выбора первой цифры.

Выбор второй цифры: Теперь у нас осталось только две единицы, две пятерки и одна девятка. Мы можем выбрать любую из оставшихся пяти цифр (2 единицы, 2 пятерки и 1 девятка) в качестве второй цифры. Таким образом, у нас есть 5 вариантов выбора второй цифры.

Выбор третьей цифры: После выбора первых двух цифр у нас осталось только одна единица, две пятерки и одна девятка. Мы можем выбрать любую из оставшихся четырех цифр (1 единица, 2 пятерки и 1 девятка) в качестве третьей цифры. Таким образом, у нас есть 4 варианта выбора третьей цифры.

Выбор четвертой цифры: После выбора первых трех цифр у нас осталось только одна единица, одна пятерка и одна девятка. Мы можем выбрать любую из оставшихся трех цифр (1 единица, 1 пятерка и 1 девятка) в качестве четвертой цифры. Таким образом, у нас есть 3 варианта выбора четвертой цифры.

Выбор пятой цифры: После выбора первых четырех цифр у нас осталось только одна единица, одна пятерка и одна девятка. Мы можем выбрать любую из оставшихся двух цифр (1 единица и 1 пятерка) в качестве пятой цифры. Таким образом, у нас есть 2 варианта выбора пятой цифры.

Выбор шестой цифры: После выбора первых пяти цифр у нас осталась только одна единица и одна пятерка. Мы можем выбрать любую из оставшихся двух цифр (1 единица и 1 пятерка) в качестве шестой цифры. Таким образом, у нас есть 1 вариант выбора шестой цифры.

Итого, мы получаем:

3 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 360

Таким образом, существует 360 способов составить шестизначное число из трех единиц, двух пятерок и одной девятки.