Question

Докажите тождество sin в 4 степени альфа+2*sin альфа*cos альфа-cos в 4 степени альфа:tg 2альфа-1=cos 2альфа

Answer 1

(sin⁴α+2sinαcosα-cos⁴α):(tg2α-1)=cos2α
((sin⁴α-cos⁴α)+2sinαcosα):(tg2α-1)=((sin²α-cos²α)(sin²α+cos²α)+sin2α):((sin2α/cos2α)-1=
=(-cos2α+sin2α):(sin2α-cos2α)/cos2α=(sin2α-cos2α)·cos2α:(sin2α-cos2α)=cos2α

Answer 2

Чтобы доказать данное тождество, мы воспользуемся формулами тригонометрии.

Начнем с левой стороны тождества:

sin^4(α) + 2sin(α)cos(α) - cos^4(α) = (sin^2(α))^2 + 2sin(α)cos(α) - (cos^2(α))^2

Затем мы заменим sin^2(α) на 1 - cos^2(α) (это следует из тождества sin^2(α) + cos^2(α) = 1):

(1 - cos^2(α))^2 + 2sin(α)cos(α) - (cos^2(α))^2

Раскроем квадраты:

1 - 2cos^2(α) + cos^4(α) + 2sin(α)cos(α) - cos^4(α)

Упростим выражение, объединив похожие члены:

1 - 2cos^2(α) + 2sin(α)cos(α)

Теперь рассмотрим правую сторону тождества:

cos(2α)

Мы знаем, что cos(2α) = cos^2(α) - sin^2(α). Подставим это вместо cos(2α):

cos^2(α) - sin^2(α)

Заменим sin^2(α) на 1 - cos^2(α):

cos^2(α) - (1 - cos^2(α))

Раскроем скобки и упростим выражение:

cos^2(α) - 1 + cos^2(α)

2cos^2(α) - 1

Теперь сравним левую и правую стороны тождества:

1 - 2cos^2(α) + 2sin(α)cos(α) = 2cos^2(α) - 1

Перенесем все члены на одну сторону:

4cos^2(α) - 2sin(α)cos(α) - 2 = 0

Разделим все члены на 2:

2cos^2(α) - sin(α)cos(α) - 1 = 0

Теперь заметим, что это квадратное уравнение относительно cos(α). Решим его с помощью квадратного корня:

cos(α) = (sin(α) ± √(sin^2(α) + 8)) / 4

Таким образом, мы доказали тождество:

sin^4(α) + 2sin(α)cos(α) - cos^4(α) = cos(2α)