Question

Вычислить интеграл: ∫(3x+2)^5dx

Answer 1

3x+2=z    3dx=dz   dx=dz/3
1/3∫z⁵dz=6/3z⁶=2z⁶=2(3x+2)⁶+C

Answer 2

Чтобы вычислить данный интеграл, мы можем воспользоваться формулой для интеграла степенной функции.

Интеграл ∫ (3x + 2)^5 dx можно выразить через замену переменной следующим образом:

Пусть u = 3x + 2. Тогда dx = 1/3 du.

Заменяем переменные и получаем:

∫ (3x + 2)^5 dx = (1/3) ∫ u^5 du.

Теперь мы можем вычислить интеграл ∫ u^5 du:

∫ u^5 du = (1/6)u^6 + C,

где C - произвольная постоянная.

Подставляем обратную замену, чтобы получить окончательный ответ:

(1/3) ∫ u^5 du = (1/3)(1/6)u^6 + C = (1/18)u^6 + C.

Теперь заменяем обратно u на исходное выражение 3x + 2:

(1/18)u^6 + C = (1/18)(3x + 2)^6 + C.

Итого, окончательный ответ:

∫ (3x + 2)^5 dx = (1/18)(3x + 2)^6 + C.