Question

Найдите сумму всех целых чисел К, каждое из которых делится без остатка на 24 и удовлетворяет -313<К<385

Answer 1

K = 24n

- 313 < 24n < 385
- 13,04 < n <16,04

N= { - 13, - 12, - 11, ..., 14, 15, 16}

При сложении числа одинаковые по модулю и разных знаков равны 0, значит сумма будет равна числу при n= 14, 15 и 16

S = 14*24 + 15*24 + 16*24 = 45*24 = 1080

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться арифметической прогрессией, так как числа, удовлетворяющие условиям задачи, формируют арифметическую последовательность.

Итак, условия задачи: 1. Число \( K \) должно делиться на 24 без остатка. 2. \( -313 < K < 385 \).

Давайте найдем первое число, удовлетворяющее условиям, и шаг арифметической последовательности.

1. Найдем наименьшее число, кратное 24 и большее -313:

\[ K_1 = \lceil \frac{-313}{24} \rceil \times 24 \]

где \( \lceil x \rceil \) - это округление вверх. Рассчитаем:

\[ K_1 = \lceil \frac{-313}{24} \rceil \times 24 = -13 \times 24 = -312 \]

Таким образом, первое число, удовлетворяющее условиям, равно -312.

2. Теперь найдем шаг арифметической последовательности. Так как каждое число делится на 24, шаг будет также равен 24.

Теперь мы можем записать формулу для суммы арифметической последовательности:

\[ S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n-1)d) \]

где: - \( S \) - сумма, - \( n \) - количество членов последовательности, - \( a \) - первый член последовательности, - \( d \) - шаг арифметической последовательности.

В нашем случае: - \( n = \frac{385 - (-312)}{24} + 1 = 34 \) (количество членов последовательности), - \( a = -312 \) (первый член последовательности), - \( d = 24 \) (шаг арифметической последовательности).

Подставим значения в формулу:

\[ S = \frac{34}{2} \cdot (2 \times (-312) + (34-1) \times 24) \]

\[ S = 17 \cdot (-624 + 33 \times 24) \]

\[ S = 17 \cdot (-624 + 792) \]

\[ S = 17 \cdot 168 \]

\[ S = 2856 \]

Таким образом, сумма всех целых чисел \( K \), которые делятся на 24 и удовлетворяют условию \(-313 < K < 385\), равна 2856.