Question

Решите пожалуйста sin2Пx+sinПx=0

Answer 1

Воспользуемся тождеством :sin(2pi*x)=2sin(pi*x)*cos(pi*x)
Получим:
sin(pi*x)(2cos(pi*x)+1)=0
Два уравнения:
sin(pi*x)=0
или
cos(pi*x)=-0,5
1. pi*х=pi*k
     x=k
2.  x=2pi/3+2pi*k
      x=2/3+2*k
     x=4/3*pi+2pi*k
      x=4/3+2*k
Ответ: х=k
или
            x=2/3+2*k
или
              x=4/3+2*k
где k - любое целое.
            

Answer 2

Конечно, рассмотрим уравнение \( \sin(2\pi x) + \sin(\pi x) = 0 \).

Для начала, воспользуемся тригонометрическим тождеством для суммы синусов:

\[ \sin(A) + \sin(B) = 2 \cdot \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \]

Применим это тождество к уравнению \( \sin(2\pi x) + \sin(\pi x) = 0 \):

\[ \sin(2\pi x) + \sin(\pi x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{2\pi x + \pi x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{2\pi x - \pi x}{2}\right) \]

\[ \sin(2\pi x) + \sin(\pi x) = 2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) \]

Теперь у нас есть произведение двух функций, равное нулю: \(2 \cdot \sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right) \cdot \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0\).

Это произведение будет равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1. \( \sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 \) 2. \( \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \)

Давайте найдем значения \(x\), удовлетворяющие этим уравнениям:

1. \( \sin\left(\frac{3\pi x}{2}\right) = 0 \) Для этого уравнения решения будут: \(\frac{3\pi x}{2} = n \cdot \pi\), где \(n\) - целое число. Отсюда \(x = \frac{2n}{3}\), где \(n\) - целое число.

2. \( \cos\left(\frac{\pi x}{2}\right) = 0 \) Решения этого уравнения: \(\frac{\pi x}{2} = \frac{\pi}{2} + n \cdot \pi\), где \(n\) - целое число. Это приведет к \(x = 1 + 2n\), где \(n\) - целое число.

Таким образом, у нас есть два набора решений:

1. \(x = \frac{2n}{3}\), где \(n\) - целое число. 2. \(x = 1 + 2n\), где \(n\) - целое число.

Это все возможные значения \(x\), которые удовлетворяют уравнению \( \sin(2\pi x) + \sin(\pi x) = 0 \).