Question

Пусть x1, x2 - корни уравнения x^2+px+q=0. Составьте квадратное уравнение, корнями которго являются: а) x1^2, x2^2 ; б) sqrt(x1), sqrt(x2); в) x1/x2 ; x2/x1

Answer 1

$x^2+px+q=0$

по теореме Виета:

$x_1+x_2=-p$

$x_1x_2=q$

a) по той же теореме:

$x_1^2+x_2^2=x_1^2+2x_1x_2-2x_1x_2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=p^2-2q$

$x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=q^2$

$x^2-(p^2-2q)x+q^2=0$

б) снова по теореме Виета:

$\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2}=\sqrt{(\sqrt{x_1}+\sqrt{x_2})^2}=\sqrt{x_1+x_2+2\sqrt{x_1x_2}}=\sqrt{-p+2\sqrt{q}}$

$\sqrt{x_1}\cdot \sqrt{x_2}=\sqrt{x_1x_2}=\sqrt{q}$

$x^2-\sqrt{-p+2\sqrt{q}}\cdot x+\sqrt{q}=0$

в) и опять по теореме Виета:

$\frac{x_1}{x_2}+\frac{x_2}{x_1}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1x_2}=\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{x_1x_2}=\frac{(-p)^2-2q}{q}=\frac{p^2}{q}-2$

$\frac{x_1}{x_2}\cdot \frac{x_2}{x_1}=1$

$x^2-(\frac{p^2}{q}-2)x+1=0$

Answer 2

а) Если x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 + px + q = 0, то можем составить уравнение, корнями которого являются x1^2 и x2^2 следующим образом:

У нас корни уравнения - x1 и x2. Значит, у нас есть факторизация данного уравнения:

(x - x1)(x - x2) = 0.

Мы знаем, что x1^2 и x2^2 являются корнями нового уравнения. Тогда их сумма и произведение также должны удовлетворять этому уравнению:

(x - x1^2)(x - x2^2) = 0.

Раскрывая скобки, получаем:

x^2 - x(x1^2 + x2^2) + x1^2x2^2 = 0.

Это и есть квадратное уравнение, корнями которого являются x1^2 и x2^2.

б) Если x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 + px + q = 0, то можем составить уравнение, корнями которого являются sqrt(x1) и sqrt(x2) следующим образом:

Пусть y = sqrt(x). Тогда x = y^2. Подставим это в исходное уравнение и получим:

(y^2)^2 + p(y^2) + q = 0.

То есть, уравнение, корнями которого являются sqrt(x1) и sqrt(x2), будет:

y^4 + py^2 + q = 0.

в) Если x1 и x2 являются корнями уравнения x^2 + px + q = 0, то можем составить уравнение, корнями которого являются x1/x2 и x2/x1 следующим образом:

Заменим в исходном уравнении x1 на x, а x2 на y:

x^2 + px + q = 0.

Тогда корнями уравнения будут x = x1 и y = x2.

Из уравнения x(x + p) + q = 0 можно получить следующее:

x^2 + px + q = 0.

У нас y = x2/x1, а x = x1, поэтому:

(x1/y)^2 + p(x1/y) + q = 0.

Умножим все выражение на y^2 и получим окончательное квадратное уравнение, корнями которого являются x1/x2 и x2/x1:

x1^2 + px1y + qy^2 = 0.