Question

Докажите тождество:sin(a-β)-cos a sin(-β)=sin a cos βВычислите:соs18° cos63°+sin18° sin63°

Answer 1

Вычислите:

соs18° cos63°+sin18° sin63° =  cos63°соs18°+sin63° sin18° = cos (63°-18°)= cos 45° =√2/2

 

Answer 2

$sin(\alpha -\beta)-cos\alpha sin(-\beta)=(sin\alpha cos\beta-cos\alpha sin\beta)-\\ -cos\alpha (-sin\beta)=sin\alpha cos\beta$

 

cos18cos63+sin18sin63=cos(18-63)=cos(-45)=cos(45)=$\frac{1}{\sqrt2}$

Answer 3

Конечно, я могу помочь с этим. Давайте начнём с доказательства тождества.

Для начала, нам дано тождество:

\(\sin(a - \beta) - \cos{a} \cdot \sin(-\beta) = \sin{a} \cdot \cos{\beta}\)

Чтобы доказать это тождество, давайте разложим \(\sin(a - \beta)\) с помощью формулы вычитания для синуса и косинуса:

\(\sin(a - \beta) = \sin{a} \cdot \cos{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta}\)

Теперь давайте рассмотрим выражение \(-\cos{a} \cdot \sin(-\beta)\). Угол \(-\beta\) имеет тот же синус, что и угол \(\beta\), но с противоположным знаком, и косинус симметричен относительно начала координат. Таким образом, \(-\cos{a} \cdot \sin(-\beta) = \cos{a} \cdot \sin{\beta}\).

Теперь мы имеем:

\(\sin(a - \beta) - \cos{a} \cdot \sin(-\beta) = (\sin{a} \cdot \cos{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta}) - \cos{a} \cdot \sin{\beta}\)

Раскроем скобки:

\((\sin{a} \cdot \cos{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta}) - \cos{a} \cdot \sin{\beta} = \sin{a} \cdot \cos{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta}\)

Теперь объединим подобные слагаемые:

\(\sin{a} \cdot \cos{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta} - \cos{a} \cdot \sin{\beta} = \sin{a} \cdot \cos{\beta} - 2 \cdot \cos{a} \cdot \sin{\beta}\)

Это немного отличается от целевого тождества \(\sin(a - \beta) - \cos{a} \cdot \sin(-\beta) = \sin{a} \cdot \cos{\beta}\). Возможно, где-то была ошибка в расчетах или в исходной формулировке тождества.

Теперь к вычислению выражения:

\(\cos{18°} + \cos{63°} + \sin{18°} + \sin{63°}\)

Давайте разложим углы на более привычные значения, используя тригонометрические формулы.

\(\cos{18°}\) и \(\sin{18°}\) могут быть выражены через углы 45° и 72°:

\(\cos{18°} = \cos{(45° - 27°)} = \cos{45°} \cdot \cos{27°} + \sin{45°} \cdot \sin{27°}\)

\(\sin{18°} = \sin{(45° - 27°)} = \sin{45°} \cdot \cos{27°} - \cos{45°} \cdot \sin{27°}\)

Теперь, используя значение \(\cos{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\sin{45°} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), \(\cos{27°}\), и \(\sin{27°}\), мы можем вычислить численные значения для \(\cos{18°}\) и \(\sin{18°}\).

После вычисления всех значений мы сможем сложить результаты для \(\cos{18°}\), \(\cos{63°}\), \(\sin{18°}\), и \(\sin{63°}\), чтобы получить окончательный ответ. Давайте посчитаем.