Question

В равнобедренном треугольнике основание равно 6 см, а боковая сторона 5 см. Найти расстояния от точки пересечения высот треугольника до его вершин.

Answer 1

Нарисуем равнобедренный треугольник АВС. 
Высоты треугольника пересекаются в одной точке (см. теорему). 
В равнобедренном треугольнике расстояние от вершин основания до точки пересечения высот равно, поэтому для решения достаточно двух высот. 
Проведем 2 высоты треугольника АВС:
одну к основанию -ВМ, вторую к боковой стороне - АМ 
Точку пересечения высот обозначим О. 
Рассмотрим треугольники АВН и АНС. 
АН - общий катет  этих прямоугольных
треугольников. 
Сторона ВС делится высотой на отрезки ВН=х и НС=5-х 
Составим по формуле Пифагора выражение для высоты АН из этих двух треугольников и приравняем их. 
АН²= АВ²-ВН² 
АН²=АС²-(5-х)² 
5²-х²=6²-(5-х)² 
25-х²=36-25+10х-х² 
10х=50-3610х=14х=1,4
Из тр-ка АНС найдем НС 
НС=5-1,4=3,6
Чтобы найти АО, нужно знать длину АН 
АН²=АС²-СН²=36-12,96 
АН=4,8
Треугольники ВОН и АОМ подобны - в них равны острые вертикальные углы. 
Для прямоугольного треугольника этого достаточно, так как остальные 2 угла тоже равны. 
По этой же причине подобны АНС и ВОН ( равны углы НАС и ОВН в прямоугольных треугольниках) 
ВН:АН=ВО:АС 
1,4:4,8=ВО:6 
4,8 ВО=8,4
ВО=1,75
ОН²=1,75²-1,4² 
ОН²=3,0625-1,96 
ОН=1,05 
АО=АН-ОН 
АО=4,8-1,05=3,75 см
Ответ: Расстояние от вершины В до точки пересечения высот равно 1,75 см 
От вершин А и С оно одинаково (треугольник равнобедренный) и равно3,75 см

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим точки вершин треугольника и точку пересечения его высот.

Пусть ABC - равнобедренный треугольник, где AB = AC (основание), и H - точка пересечения высот треугольника.

Теперь, давайте обозначим следующее: - \(AB = AC = 6\) см (основание). - \(BC = 5\) см (боковая сторона).

Так как треугольник равнобедренный, то высота, проведенная из вершины (точка H) перпендикулярна основанию BC и делит его на две равные части. Таким образом, \(BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{5}{2}\) см.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник BHC, и мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину отрезка BH (или HC). Теорема Пифагора гласит: \[BH^2 + BC^2 = HC^2.\]

Подставляем значения: \[(\frac{5}{2})^2 + 5^2 = HC^2.\]

Вычисляем: \[\frac{25}{4} + 25 = HC^2.\] \[\frac{100}{4} + \frac{100}{4} = HC^2.\] \[\frac{200}{4} = HC^2.\] \[HC^2 = 50.\] \[HC = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}.\]

Таким образом, длина высоты треугольника HC равна \(5\sqrt{2}\) см.

Теперь, чтобы найти расстояния от точки пересечения высот до вершин треугольника, мы можем воспользоваться тем фактом, что эти расстояния равны высотам треугольника. Таким образом, расстояния от H до вершин A, B и C равны \(5\sqrt{2}\) см каждое.