Question

Помогите решить предел. !!!С помощью замены эквивалентных БМ!!!

Answer 1

Замена
х-1=t,   ⇒ x=t+1
$x-1\rightarrow0, \\ t\rightarrow0$
$= \lim_{t \to 0} \frac{5 ^{(t+1) ^{2}+2(t+1) }-125 }{sin \pi (t+1)} =\lim_{t \to 0} \frac{5 ^{t ^{2}+4t+3 }-5 ^{3} }{sin (\pi t+ \pi )} =\lim_{t \to 0} \frac{5 ^ {3} (5^{t ^{2}+4t }-1) }{-sin (\pi t )} =$
применяем замену эквивалетными бесконечно малыми
sin πt заменяем на πt
$5^{t ^{2}+4t }-1$
заменяем на (t²+4t)·ln5
$=\lim_{t \to 0} \frac{5 ^ {3} ({t ^{2}+4t })\cdot ln5 }{- (\pi t )} = -\frac{125 ln5}{ \pi } \lim_{t \to 0} \frac{ t\cdot({t +4 }) }{ t } = \\ =-\frac{125 ln5}{ \pi } \lim_{t \to 0} (t+4)=-\frac{125 ln5}{ \pi }\cdot 4=-\frac{500 ln5}{ \pi }$