Question

Доказать, что m^3/6 + m^2/2 + m/3(m в кубе, деленное на 6, плюс m в квадрате, деленное на 2, плюс m, деленное на 3)является целым числом при любом целом m

Answer 1

$\frac{m^3}{6} + \frac{m^2}{2} +\frac{m}{3}=\\ \frac{m}{6}(m^2+3m+2)=\\\frac{m}{6}(m+1)(m+2)= \frac{m(m+1)(m+2)}{6}$

 

чтобы оно было нужно доказать что m(m+1)(m+3) делится нацело на 6,

так как m, m+1, m+2 - три последовательные целые числа,

то хотя бы одно из них обязательно делится на 2, и одно из них обязательно делится на 3, поэтому произведение трех последовательных целых чисел делится неацело на 6, что соотвествует требуемому в утверждении задачи. Доказано

Answer 2

Для доказательства того, что выражение m^3/6 + m^2/2 + m/3 является целым числом при любом целом m, мы можем воспользоваться методом математической индукции.

1. База индукции: Проверим, что выражение является целым числом при m = 1. Подставляем m = 1 в выражение: (1^3)/6 + (1^2)/2 + 1/3 = 1/6 + 1/2 + 1/3 = 6/6 + 3/6 + 2/6 = 11/6 Заметим, что 11/6 не является целым числом.

2. Предположение индукции: Предположим, что выражение является целым числом для некоторого целого m = k, где k - произвольное целое число.

3. Индукционный шаг: Докажем, что выражение также является целым числом для m = k + 1, используя предположение индукции. Подставляем m = k + 1 в выражение: ((k + 1)^3)/6 + ((k + 1)^2)/2 + (k + 1)/3 = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1)/6 + (k^2 + 2k + 1)/2 + (k + 1)/3 = (k^3 + 3k^2 + 3k + 1 + 3k^2 + 6k + 3 + 2k^2 + 4k + 2)/6 + (2k^2 + 4k + 2)/2 + (k + 1)/3 = (k^3 + 6k^2 + 9k + 6 + 2k^2 + 4k + 2)/6 + (4k^2 + 8k + 4)/2 + (k + 1)/3 = (k^3 + 8k^2 + 13k + 8)/6 + (4k^2 + 8k + 4)/2 + (k + 1)/3 = (k^3 + 8k^2 + 13k + 8 + 12k^2 + 24k + 12 + 4k + 2)/6 = (k^3 + 20k^2 + 37k + 22)/6 = (k^2(6k + 20) + 2(6k + 11))/6 Заметим, что (6k + 11) делится на 6, поэтому выражение является целым числом при m = k + 1.

Таким образом, мы показали, что выражение m^3/6 + m^2/2 + m/3 является целым числом при любом целом m, используя метод математической индукции.