Question

А) решите уравнение 4^cosx +4^-cosx=5/2 б) укажите корни этого уравнения,принадлежащие отрезку (-3π; -3π/2)

Answer 1

4^Cos x + 1/4^Cos x = 5/2 | ·2·4^Cos x ≠ 0
2·(4^Cos x)² + 2 - 5·4^Cos x = 0
4^ Cos x = y
2y² - 5y + 2 = 0
D=9
y1 = 2
y2= 1/2
а) 4^Cos x = 2=4^1/2
Сos x = 1/2
х = +- arcCos1/2 + 2πk , k ∈Z
x = +-π/3 +2πk , k ∈Z
б) 4^Cos x = 1/2 = 4^-1/2
Сos x = - 1/2
x = +-arcCos(-1/2) + 2πn , n ∈Z
x = +-2π/3 + 2πn , n ∈Z
На числовой прямой смотрим:
 Ответ: х = -5π/3; -7π/3

Answer 2

Дано уравнение 4^cosx + 4^(-cosx) = 5/2.

Первым шагом можно заметить, что уравнение имеет симметрию относительно оси ординат. Это означает, что если x является корнем уравнения, то -x также будет корнем.

Для решения данного уравнения заменим 4^cosx на t. Тогда уравнение примет вид t + 1/t = 5/2.

Умножим обе части уравнения на t, чтобы избавиться от дроби: t^2 + 1 = (5/2)t. Расположим уравнение в стандартной форме: t^2 - (5/2)t + 1 = 0.

Далее решим полученное квадратное уравнение с помощью квадратного трехчлена или формулы корней.

D = (5/2)^2 - 4*1*1 = 25/4 - 4 = 9/4.

Корни квадратного уравнения:

t1 = [(5/2) + sqrt(9/4)] / 2 = (5/2 + 3/2) / 2 = 4/2 = 2.

t2 = [(5/2) - sqrt(9/4)] / 2 = (5/2 - 3/2) / 2 = 1/2.

Таким образом, получаем два значения t: t = 2 и t = 1/2.

Теперь подставим значения t обратно в исходное уравнение и решим его для cosx.

Когда t = 2:

4^cosx = 2, cosx = log_4(2) = 1/2, x = arccos(1/2) = π/3 или x = -π/3.

Таким образом, корни уравнения для этого значения t равны x = π/3 и x = -π/3.

Когда t = 1/2:

4^cosx = 1/2, cosx = log_4(1/2) = -1/2, x = arccos(-1/2) = 2π/3 или x = -2π/3.

Таким образом, корни уравнения для этого значения t равны x = 2π/3 и x = -2π/3.

Итак, корни уравнения, принадлежащие отрезку (-3π; -3π/2), равны x = -π/3 и x = -2π/3.