Question

Докажите, что при любом нтуральном значении n выполняется равенство 3+7+11+...+(4n-1)=n (2n+1) методом математической индукции

Answer 1

Предположим что верно для n
3+7+11+...+(4n-1)=n (2n+1)
тогда надо доказать что верно и для n+1
3+7+11+...+(4n-1)+(4(n+1)-1)=(n+1)(2(n+1)+1)
рассмотрим
3+7+11+...+(4n-1)+(4(n+1)-1)=n (2n+1) +(4(n+1)-1)= 2n2+n+4n+4-1=2n2+5n+3=
= 2n2+2n+3n+3=2n(n+1)+3(n+1)=(n+1)(2n+3)=(n+1)(2(n+1)+1) что требовалось доказать

Answer 2

Решение методом математической индукции

Для доказательства равенства 3 + 7 + 11 + ... + (4n-1) = n + (2n+1) при любом натуральном значении n воспользуемся методом математической индукции.

Шаг 1: Базовый случай Проверим равенство для n = 1: 3 = 1 + (2*1 + 1) 3 = 1 + 3 3 = 3

Базовый случай выполняется.

Шаг 2: Предположение индукции Предположим, что равенство выполняется для некоторого k, то есть: 3 + 7 + 11 + ... + (4k-1) = k + (2k+1)

Шаг 3: Индукционный переход Докажем, что равенство выполняется для k+1, используя предположение индукции.

Рассмотрим левую часть равенства для k+1: 3 + 7 + 11 + ... + (4(k+1)-1)

Мы можем выразить это выражение как сумму двух частей: (3 + 7 + 11 + ... + (4k-1)) + (4(k+1)-1)

Используя предположение индукции, мы можем заменить первую часть справа на k + (2k+1): k + (2k+1) + (4(k+1)-1)

Раскроем скобки и упростим выражение: k + 2k + 1 + 4k + 4 - 1 7k + 4

Теперь рассмотрим правую часть равенства для k+1: (k+1) + (2(k+1)+1) k + 1 + 2k + 2 + 1 3k + 4

Мы видим, что левая и правая части равенства для k+1 совпадают (7k + 4 = 3k + 4), что доказывает, что равенство выполняется для k+1.

Таким образом, мы доказали, что при любом натуральном значении n выполняется равенство 3 + 7 + 11 + ... + (4n-1) = n + (2n+1) методом математической индукции.