Question

Квадратное уравнение, корни которого на одну единицу меньше корней уравнения x^2 + 3x - 2 = 0, имеет вид x^2 - bx + с = 0. Найдите значение 2b+c. Помогите решить.

Answer 1

$x^2-bx+c=0\\x'_1+x'_2=b\\ x'_1*x'_2=c\\\\ x^2+3x-2=0\\x_1+x_2=-3\\ x_1*x_2=-2\\\\ x_1=x'_1-1,\ x_2=x'_2-1\\\\ (x'_1-1)(x'_2-1)=c=x'_1*x'_2-(x'_1+x'_2)+1=-2+3+1=2\\ (x'_1-1)+(x'_2-1)=b=(x'_1+x'_2)-2=-3-2=-5\\\\ 2b+c=2*(-5)+2=-8$

Answer 2

Для начала, найдем корни уравнения x^2 + 3x - 2 = 0. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,

где a = 1, b = 3 и c = -2.

D = 3^2 - 4 * 1 * (-2) = 9 + 8 = 17.

Теперь найдем корни уравнения:

x = (-b ± √D) / (2a).

x = (-3 ± √17) / 2.

Таким образом, корни уравнения x^2 + 3x - 2 = 0 равны:

x1 = (-3 + √17) / 2,

x2 = (-3 - √17) / 2.

Далее, мы знаем, что корни квадратного уравнения x^2 - bx + c = 0 на одну единицу меньше корней уравнения x^2 + 3x - 2 = 0. Это означает, что уравнение x^2 - bx + c = 0 имеет корни:

x1 - 1 = (-3 + √17) / 2 - 1 = (-3 + √17 - 2) / 2 = (-5 + √17) / 2,

x2 - 1 = (-3 - √17) / 2 - 1 = (-3 - √17 - 2) / 2 = (-5 - √17) / 2.

Теперь мы можем записать уравнение x^2 - bx + c = 0 в виде:

(x - x1 + 1)(x - x2 + 1) = 0.

Раскроем скобки:

x^2 - (x1 + x2 - 2)x + (x1x2 - x1 - x2 + 1) = 0.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в уравнениях x^2 - bx + c = 0 и x^2 - (x1 + x2 - 2)x + (x1x2 - x1 - x2 + 1) = 0, получаем:

b = x1 + x2 - 2,

c = x1x2 - x1 - x2 + 1.

Теперь найдем значение 2b + c:

2b + c = 2(x1 + x2 - 2) + (x1x2 - x1 - x2 + 1).

Подставим значения корней:

2b + c = 2((-3 + √17) / 2 + (-3 - √17) / 2 - 2) + ((-5 + √17) / 2)((-5 - √17) / 2) - (-5 + √17) / 2 - (-5 - √17) / 2 + 1.

Упростим выражение:

2b + c = -3 + √17 - 3 - √17 - 4 + 5 - 5 + 1 + 5 - √17 - 5 + √17 + 1.

2b + c = -3 - 3 - 4 + 5 - 5 + 1 + 5 - 5 + 1.

2b + c = -2.

Таким образом, значение 2b + c равно -2.