Question

Доказать что выражение принимает не отрицательные значения x^2+y^2-2x+4y+5

Answer 1

x^2+y^2-2x+4y+5=(x^2-2x+1)+(y^2+4y+4)=(x-1)^2+(y+2)^2≥0
квадрат любого числа число неорицательное

Answer 2

Для доказательства того, что выражение принимает неотрицательные значения, мы можем использовать метод завершения квадратов. Давайте преобразуем данное выражение, чтобы выразить его в виде суммы квадратов и посмотреть, какие значения оно может принимать.

Выражение: x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5

Давайте завершим квадраты для переменных x и y, чтобы выразить выражение через сумму квадратов:

(x^2 - 2x) + (y^2 + 4y) + 5

Теперь давайте завершим квадрат для каждой скобки. Для первой скобки, мы можем добавить и вычесть (2/2)^2 = 1:

(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 4y) + 5

Теперь мы можем преобразовать первую скобку в квадрат:

(x - 1)^2 + (y^2 + 4y) + 5 - 1

Для второй скобки, мы также можем добавить и вычесть (4/2)^2 = 4:

(x - 1)^2 + (y^2 + 4y + 4 - 4) + 5 - 1

Теперь мы можем преобразовать вторую скобку в квадрат:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 5 - 1 - 4

(x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 0

Теперь выражение принимает следующий вид:

(x - 1)^2 + (y + 2)^2

Квадраты всегда неотрицательны, поэтому выражение (x - 1)^2 + (y + 2)^2 также принимает только неотрицательные значения.

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение x^2 + y^2 - 2x + 4y + 5 принимает только неотрицательные значения.