Question

Помогите пожалуйста Задание 1 Найдите корни уравнения sin(pi/4 - 8x)= -корень из 3/2 Задание 2 При каких положительных значениях a имеет решение уравнение (a+3)sinx=a-1

Answer 1

Тригонометрический круг

Answer 2

Конечно, давайте решим по порядку оба уравнения.

Задание 1:

Нам дано уравнение:

\[ \sin\left(\frac{\pi}{4} - 8x\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

Давайте найдем значения \(x\), удовлетворяющие этому уравнению.

1. Преобразуем угол внутри синуса, используя тригонометрическую формулу \(\sin(a - b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\):

\[ \sin\left(\frac{\pi}{4} - 8x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(8x\right) - \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(8x\right) \]

2. Заменим значения синуса и косинуса для угла \(\frac{\pi}{4}\), которые равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(8x\right) - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(8x\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \]

3. Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

\[ \cos\left(8x\right) - \sin\left(8x\right) = -\sqrt{3} \]

4. Преобразуем левую сторону, используя тригонометрическую формулу \(\cos(a - b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b\):

\[ \cos\left(8x\right) - \sin\left(8x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\cos\left(8x\right) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\sin\left(8x\right) \]

5. Заменим значения синуса и косинуса для угла \(\frac{\pi}{4}\), которые равны \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ \frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(8x\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\sin\left(8x\right) = -\sqrt{3} \]

6. Умножим обе стороны на \(-2\), чтобы избавиться от знака \(\frac{\sqrt{2}}{2}\):

\[ -\sqrt{2}\cos\left(8x\right) - \sqrt{2}\sin\left(8x\right) = -2\sqrt{3} \]

7. Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[ \sqrt{2}\cos\left(8x\right) + \sqrt{2}\sin\left(8x\right) = 2\sqrt{3} \]

8. Далее, воспользуемся формулой для синуса суммы углов:

\[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \]

Применим её к уравнению:

\[ \sqrt{2}\sin\left(8x + \frac{\pi}{4}\right) = 2\sqrt{3} \]

9. Решим полученное уравнение для \(8x + \frac{\pi}{4}\):

\[ 8x + \frac{\pi}{4} = \arcsin\left(\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\right) \]

\[ 8x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{3} \]

\[ 8x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4} \]

\[ 8x = \frac{\pi}{12} \]

\[ x = \frac{\pi}{96} \]

Таким образом, уравнение \(\sin\left(\frac{\pi}{4} - 8x\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\) имеет решение при \(x = \frac{\pi}{96}\).

Задание 2:

Нам дано уравнение:

\[ (a + 3)\sin x = a - 1 \]

Решим его:

1. Распишем уравнение:

\[ a\sin x + 3\sin x = a - 1 \]

2. Переносим все члены с \(a\) на одну сторону:

\[ a\sin x - a = -3\sin x - 1 \]

\[ a(\sin x - 1) = -3\sin x - 1 \]

3. Делим обе стороны на \(\sin x - 1\) (предполагаем, что \(\sin x \neq 1\), так как в этом случае знаменатель обращается в ноль):

\[ a = \frac{-3\sin x - 1}{\sin x - 1} \]

4. Упростим выражение:

\[ a = \frac{-3\sin x - 1}{\sin x - 1} \cdot \frac{\sin x + 1}{\sin x + 1} \]

\[ a = \frac{-3\sin x - \sin x - 1}{\sin^2 x - 1} \]

\[ a = \frac{-4\sin x - 1}{-\cos^2 x} \]

\[ a = \frac{4\sin x + 1}{\cos^2 x} \]

5. Заменим \(\sin x\) и \(\cos x\) через тригонометрическую тождества \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\[ a = \frac{4\sin x + 1}{1 - \sin^2 x} \]

\[ a = \frac{4\sin x + 1}{\cos^2 x} \]

6. Поскольку \(a\) должно быть положительным, а \(\cos^2 x\) также положителен, то числитель \(4\sin x