Question

За 4 дня совместной работы двух тракторов было вспахано 2/3 поля. За сколько дней можно вспахивать все поле только вторым трактором, если первым трактором можно вспахивать все поле на 5 дней быстрее, чем вторым?

Answer 1

Всё поле будет вспахано за 4 / (2/3) = 6 дней 
Пусть х -будет пахать 2-й трактор 
Тогда (х-5) - будет пахать 1-й трактор 

Уравнение:
1/х + 1/(х-5) = 1/6 
6*(х-5) + 6х = х*(х-5) 
6х - 30 + 6х = x^2 - 5x 
x^2 - 17x + 30 = 0 
x1 = 15 
x2 = 2 (не удовлетворит условию времени 1-го трактора х-5) 
Ответ: за 15 дней

Answer 2

Пусть \( t_1 \) - количество дней, за которое первый трактор может вспахать всё поле, и \( t_2 \) - количество дней, за которое второй трактор может вспахать всё поле.

Из условия задачи мы знаем, что за 4 дня работы обоих тракторов вспахано \( \frac{2}{3} \) поля. Таким образом, скорость работы обоих тракторов в совокупности равна \( \frac{2}{3} \) поля за 4 дня. Мы можем использовать это, чтобы составить уравнение:

\[ 4 \cdot \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) = \frac{2}{3} \]

Также, из условия задачи следует, что первый трактор может вспахать всё поле на 5 дней быстрее, чем второй. Таким образом, \( t_1 = t_2 - 5 \).

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{align*} 4 \cdot \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right) &= \frac{2}{3} \\ t_1 &= t_2 - 5 \end{align*} \]

Решим эту систему. Подставим второе уравнение в первое:

\[ 4 \cdot \left( \frac{1}{t_2 - 5} + \frac{1}{t_2} \right) = \frac{2}{3} \]

Умножим обе стороны уравнения на \( \frac{3}{2} \) для избавления от дроби:

\[ 3 \cdot \left( \frac{1}{t_2 - 5} + \frac{1}{t_2} \right) = 1 \]

Упростим:

\[ \frac{3}{t_2 - 5} + \frac{3}{t_2} = 1 \]

Переносим слагаемые:

\[ \frac{3}{t_2} - \frac{3}{t_2 - 5} = 1 \]

Общий знаменатель:

\[ \frac{3(t_2 - 5) - 3t_2}{t_2(t_2 - 5)} = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ \frac{3t_2 - 15 - 3t_2}{t_2(t_2 - 5)} = 1 \]

Упростим:

\[ \frac{-15}{t_2(t_2 - 5)} = 1 \]

Умножим обе стороны на знаменатель:

\[ -15 = t_2(t_2 - 5) \]

Раскроем скобки:

\[ -15 = t_2^2 - 5t_2 \]

Полученное квадратное уравнение:

\[ t_2^2 - 5t_2 - 15 = 0 \]

Решим его с использованием квадратного корня или факторизации. Полученные значения \( t_2 \) будут количество дней, за которое второй трактор может вспахать всё поле. Так как \( t_1 = t_2 - 5 \), мы можем найти и \( t_1 \).