Question

Представить в виде дроби: 3x - 1 дробь x^2 + x - 9 дробь 3x

Answer 1

$\frac{3x-1}{x^2} + \frac{x-9}{3x} = \frac{3(3x-1)+x(x-9)}{3x^2} = \frac{9x-3+x^2-9x}{3x^2} = \frac{x^2-3}{3x^2}$

Answer 2

Давайте представим выражение \(\frac{3x - 1}{x^2 + x - 9}\) в виде неправильной дроби.

\[ \frac{3x - 1}{x^2 + x - 9} \]

Факторизуем знаменатель:

\[ \frac{3x - 1}{(x - 3)(x + 3)} \]

Теперь мы видим, что знаменатель представляет собой произведение двух линейных множителей \( (x - 3) \) и \( (x + 3) \). Теперь мы можем представить неправильную дробь в виде суммы частей с использованием метода частных дробей.

\[ \frac{3x - 1}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{A}{x - 3} + \frac{B}{x + 3} \]

Умножим обе стороны на общий знаменатель \((x - 3)(x + 3)\), чтобы избавиться от дроби:

\[ 3x - 1 = A(x + 3) + B(x - 3) \]

Раскроем скобки и соберем похожие члены:

\[ 3x - 1 = Ax + 3A + Bx - 3B \]

Теперь сгруппируем члены с \(x\):

\[ 3x - 1 = (A + B)x + (3A - 3B) \]

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях \(x\):

1. Коэффициент при \(x\) с левой стороны равен 3, а с правой стороны равен \(A + B\). 2. Свободный член с левой стороны равен -1, а с правой стороны равен \(3A - 3B\).

Составим систему уравнений:

\[ A + B = 3 \] \[ 3A - 3B = -1 \]

Решим эту систему уравнений. Умножим первое уравнение на 3 и сложим с вторым:

\[ 3(A + B) + (3A - 3B) = 3 \cdot 3 + (-1) \]

\[ 3A + 3B + 3A - 3B = 9 - 1 \]

\[ 6A = 8 \]

\[ A = \frac{4}{3} \]

Теперь подставим значение \(A\) обратно в первое уравнение:

\[ \frac{4}{3} + B = 3 \]

\[ B = 3 - \frac{4}{3} \]

\[ B = \frac{5}{3} \]

Таким образом, мы получаем, что \(A = \frac{4}{3}\) и \(B = \frac{5}{3}\), и исходную дробь можно представить в виде суммы двух дробей:

\[ \frac{3x - 1}{x^2 + x - 9} = \frac{4}{3(x - 3)} + \frac{5}{3(x + 3)} \]