Question

Решите уравнение log11(x+4)+log11(x+7)=log11(7+x)

Answer 1

 log11(x+4)+log11(x+7)=log11(7+x)    одз х+4>0,х>-4   х+7>0,х>-7

 log11((x+4)*(x+7))=log11(7+x)

 (x+4)*(x+7)=7+x

x^2+7x+4x+28=7+x

x^2+7x+4x+28-7-x=0

x^2+10x+21=0

D=100-84=16

x1=(-10-4)/2=-7 (не подходит) 

x2=(-10+4)/2=-3

 Ответ:х=-3

Answer 2

Для решения уравнения с логарифмами, воспользуемся свойствами логарифмов. Уравнение имеет вид:

\[ \log_{11}(x+4) + \log_{11}(x+7) = \log_{11}(7+x) \]

Используем свойства логарифмов, в частности, правило произведения для логарифмов:

\[ \log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c) \]

Применяем это правило к исходному уравнению:

\[ \log_{11}((x+4) \cdot (x+7)) = \log_{11}(7+x) \]

Теперь, так как логарифмы равны, а основание у них одинаковое, то аргументы логарифмов должны быть равны:

\[ (x+4) \cdot (x+7) = 7+x \]

Раскрываем скобки:

\[ x^2 + 11x + 28 = 7+x \]

Переносим все члены уравнения на одну сторону:

\[ x^2 + 10x + 21 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для решения квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где у нас \( a = 1 \), \( b = 10 \) и \( c = 21 \). Подставляем значения:

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 - 4(1)(21)}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 84}}{2} \]

\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{16}}{2} \]

\[ x = \frac{-10 \pm 4}{2} \]

Таким образом, у нас есть два возможных значения \( x \):

1. \( x = \frac{-10 + 4}{2} = -3 \) 2. \( x = \frac{-10 - 4}{2} = -7 \)

Проверим оба значения, подставив их обратно в исходное уравнение:

1. При \( x = -3 \): \[ \log_{11}((-3)+4) + \log_{11}((-3)+7) = \log_{11}(7+(-3)) \] \[ \log_{11}(1) + \log_{11}(4) = \log_{11}(4) \] Уравнение выполняется.

2. При \( x = -7 \): \[ \log_{11}((-7)+4) + \log_{11}((-7)+7) = \log_{11}(7+(-7)) \] \[ \log_{11}(-3) + \log_{11}(0) = \text{недопустимо (логарифм от нуля не определен)} \] Значение -7 не подходит.

Таким образом, решение уравнения - это \( x = -3 \).