Question

НАЙТИ ПРОМЕЖУТКИ УВЕЛИЧЕНИЯ ФУНКЦИИ У=Х^4-4X^3-8X^2=3

Answer 1

y=x^4-4x^3-8x^2-3

y ' =4x^3-12x^2-16

y ' =0

4x^3-12x^2-16=0

x^3-3x^2-4=0

x(x^2-3x-4)=0

1) x=0

2) x^2-3x-4=0

    D=25

    x1=-1

    x2=4

Имеем три критические точки: x=-1; x=0; x=4

Методом интервалов определяем, что функция возрастает на промежутках:

от -1 до 0 и от 4 до +бесконечности 

Answer 2

Чтобы найти промежутки увеличения или уменьшения функции \(y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 3\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции \(y\) по переменной \(x\). 2. Решите уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения критических точек. 3. Определите знак производной в интервалах между критическими точками. 4. Проанализируйте результаты и определите промежутки увеличения и уменьшения функции.

Давайте выполним эти шаги.

Шаг 1: Находим производную функции \(y\)

\[y = x^4 - 4x^3 - 8x^2 - 3\]

\[y' = 4x^3 - 12x^2 - 16x\]

Шаг 2: Решаем уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\)

\[4x^3 - 12x^2 - 16x = 0\]

Факторизуем:

\[4x(x + 1)(x - 4) = 0\]

Таким образом, у нас три критические точки: \(x = 0\), \(x = -1\) и \(x = 4\).

Шаг 3: Определяем знак производной в интервалах между критическими точками

Выберем тестовые точки в интервалах между критическими точками: \(x < -1\), \(-1 < x < 0\), \(0 < x < 4\), \(x > 4\).

- Подставим \(x = -2\): \(y' = (-) \cdot (-) \cdot (-) = -\) (отрицательный знак). - Подставим \(x = -0.5\): \(y' = (+) \cdot (-) \cdot (-) = +\) (положительный знак). - Подставим \(x = 2\): \(y' = (+) \cdot (+) \cdot (-) = -\) (отрицательный знак). - Подставим \(x = 5\): \(y' = (+) \cdot (+) \cdot (+) = +\) (положительный знак).

Шаг 4: Анализируем результаты

- \(y' < 0\) в интервалах \((- \infty, -1)\) и \((0, 4)\), следовательно, функция убывает на этих интервалах. - \(y' > 0\) в интервалах \((-1, 0)\) и \((4, +\infty)\), следовательно, функция возрастает на этих интервалах.

Таким образом, промежутки увеличения функции \(y\) - это интервалы \((-1, 0)\) и \((4, +\infty)\), а промежутки уменьшения - интервалы \((- \infty, -1)\) и \((0, 4)\).