Question

Решите неравенство 2sin2x*cos2x≥√2

Answer 1

2sin2x cos2x>=1/2
sin4x>=1/2
п/6+2пк<=4x<=5п/6+2пк
п/24+(пк) /2<=x<=5п/24+(пк) /2

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(2\sin(2x)\cos(2x) \geq \sqrt{2}\), давайте разберемся с угловыми функциями и воспользуемся тригонометрическими тождествами.

Напомним тригонометрические тождества: \[ \sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \] \[ \cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) \]

Заметим, что \(2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)\). Подставим это в неравенство:

\[ \sin(4x) \geq \sqrt{2} \]

Теперь рассмотрим, в каких областях синус равен или превосходит \(\sqrt{2}\). Синус принимает значения в интервале от -1 до 1. Таким образом, чтобы выполнить неравенство \(\sin(4x) \geq \sqrt{2}\), нужно, чтобы синус был равен 1.

Рассмотрим уравнение \( \sin(4x) = 1 \). Синус равен 1 только при \(\frac{\pi}{2} + k\pi\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, решение уравнения \( \sin(4x) \geq \sqrt{2} \) включает в себя значения \(x\), которые можно выразить как:

\[ x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4} \]

где \(k\) - целое число. Это уравнение учитывает все возможные положительные значения \(x\), удовлетворяющие заданному неравенству.