Question

|x^2-8|Меньше или равно 2x Срочно пожалуйста

Answer 1

|x^2-8|>2x

если х<0 очевидно выполняется, так как слева неотрицательное выражение справа отрицательное

если х=0 л.ч. равна 8 ,правая 0, для токи х=0 неравенство тоже выполняется.

 

пусть теперь х>0

тогда обе части неравенства неотрицательны, перейдем к равносильному, понеся обе части неравенства к квадрату, получим (используя тот факт что квадрат модуля выражения равен квадрату выражения,

|A|^2=A^2)

 

(x^2-8)^2>(2x)^2

x^4-16x^2+64>4x^2

x^2-20x^2+64>0

(x^2-4)(x^2-16)>0

(x+4)(x+2)(x-2)(x-4)>0

которое решим методом интервалов, учев , что нас интересует только те х, которые больше 0

 

критические точки -4, -2, 2, 4 (при них левая часть обращается в 0), они разбивают координатную прямую на промутки

(-бесконечность; -4), (-4;-2), (-2;2), (2;4), (4;+бесконечность), на каждом из которых левая часть неравенства сохраняет знак,

нас интересует поведение левой части только на трех промежутках

(0;2), (2,4) (4;+бесконечность)

возьмем точку х=5 , л.ч.= (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)=(5+4)(5+2)(5-2)(5-4)>0

а значит на промежутке (4;+бесконечность) л.ч неравенства >0 , (5 принадлежит указанному промежутку, что верно для нее, верно для всего промежутка)

возьмем точку х=3, л.ч.= (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)=(3+4)(3+2)(3-2)(3-4)<0

а значит на промежутке (2:4) л.ч неравенства <0 , (3 принадлежит указанному промежутку, что верно для нее, верно для всего промежутка)

возьмем точку 1 л.ч= (x+4)(x+2)(x-2)(x-4)=(1+4)(1+2)(1-2)(1-4)>0

а значит на промежутке (0;2) л.ч неравенства >0 , (1 принадлежит указанному промежутку, что верно для нее, верно для всего промежутка)

 

обьединяя все найденные  решения окончательно получим

ответ: (-бесконечность; 2)обьединение (4;+бесконечность)

Answer 2

(х^2-8)<=2х; х^2-8-2х+1-1<=0; (х-1)^2-9<=0;
(х-1)^2<=9; х-1<=3; х<=4.
если х - любое число, следовательно х:[4-0;-бесконечность ]. прости нюансов оформления записи не помню.

Answer 3

Давайте решим неравенство \( |x^2 - 8| \leq 2x \).

1. Начнем с определения модуля: \[ |a| = \begin{cases} a, & \text{если } a \geq 0 \\ -a, & \text{если } a < 0 \end{cases} \]

2. Подставим \(x^2 - 8\) вместо \(a\): \[ x^2 - 8 \leq 2x \quad \text{и} \quad -(x^2 - 8) \leq 2x \]

3. Решим первое неравенство: \[ x^2 - 2x - 8 \leq 0 \]

Это квадратное неравенство можно решить, нарисовав график или используя методы факторизации или квадратичной формулы.

Факторизация: \((x - 4)(x + 2) \leq 0\)

Корни: \(x = 4\) и \(x = -2\)

Построим таблицу знаков: \[ \begin{array}{c|ccc|c} & x + 2 & x - 4 & x + 2 \cdot (x - 4) & \text{Знак} \\ \hline x < -2 & - & - & + & + \\ -2 < x < 4 & + & - & - & - \\ x > 4 & + & + & + & + \end{array} \]

Таким образом, решением неравенства \(x^2 - 2x - 8 \leq 0\) является \(-2 \leq x \leq 4\).

4. Решим второе неравенство: \[ -(x^2 - 8) \leq 2x \]

Упростим: \(-x^2 + 8 \leq 2x\)

Переносим все на одну сторону: \(-x^2 - 2x + 8 \leq 0\)

Исследуем дискриминант квадратного уравнения: \(b^2 - 4ac = 4 - 4 \cdot (-1) \cdot 8 = 4 + 32 = 36\)

Дискриминант положителен, следовательно, у уравнения есть два различных вещественных корня. Решения: \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\) и \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\).

\(x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot (-1)} = \frac{2 + 6}{-2} = -4\)

\(x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot (-1)} = \frac{2 - 6}{-2} = 2\)

Составим таблицу знаков: \[ \begin{array}{c|ccc|c} & x + 4 & x - 2 & -x^2 - 2x + 8 & \text{Знак} \\ \hline x < -4 & - & - & + & + \\ -4 < x < 2 & + & - & + & + \\ x > 2 & + & + & - & - \end{array} \]

Решением неравенства \(-x^2 - 2x + 8 \leq 0\) является \(-4 \leq x \leq 2\).

5. Совместим решения двух неравенств: Объединим интервалы, которые удовлетворяют обоим неравенствам:

\[-4 \leq x \leq 4\]

Таким образом, решением исходного неравенства \( |x^2 - 8| \leq 2x \) является множество всех \(x\), таких что \(-4 \leq x \leq 4\).