Question

Решите уравнение 4sin^2(2x+pi/3)=1

Answer 1

4sin^2(2x+pi/3)=1

sin^2(2x+pi/3)=1/4

Пусть 2x+pi/3=t

sin^2t=1/4

sint=+-1/2

1)sint=-1/2

t=-pi/6+2pik . k=z

t=-5pi/6+2pik . k=z

2)sint=1/2

t=pi/6+2pik . k=z

t=5pi/6+2pik . k=z

 

Найдем x:

1)2x+pi/3=-pi/6+2pik

2x=-pi/2+2pik

x=-pi/4+pik

2)2x+pi/3=-5pi/6+2pik

2x=-11pi/6+2pik

x=-11pi/12+pik

3)2x+pi/3=pi/6+2pik

2x=-pi/6+2pik

x=-pi/12+pik

4)2x+pi/3=5pi/6+2pik

2x=pi/6+2pik

x=pi/12+pik

Объеденим решения: x=-pi/12+pik/2 ; x=-pi/4+pik/2

Answer 2

4sin^2(2x+pi/3)=1

sin^2(2x+pi/3)=1/4

По формуле понижения степени

(1-cos2(2x+pi/3))/2=1/4

1-cos2(2x+pi/3)=1/2

cos2(2x+pi/3)=1/2

Новая переменная

2x+pi/3=t

cos2t=1/2

2t1=pi/6+2piK; t1=pi/12+piK

2t2=-pi/6+2piK   t2= -pi/12+piK

 

Решаем для t1

2x+pi/3=pi/12+piK

2x=pi/12-pi/3+piK

2x=-pi/4+piK

x=-pi/8+piK/2

 

Решаем для t2

 2x+pi/3= -pi/12+piK

2x= -5pi/12+piK

x= -5pi/24+piK/2

Answer 3

Давайте решим уравнение:

\[4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) = 1\]

Для упрощения уравнения воспользуемся тригонометрической формулой:

\[\sin^2(\theta) = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}\]

Применим эту формулу к вашему уравнению:

\[4\left(\frac{1 - \cos(4x + \frac{\pi}{3})}{2}\right) = 1\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дробей:

\[2 - 2\cos(4x + \frac{\pi}{3}) = 1\]

Теперь выразим \(\cos(4x + \frac{\pi}{3})\):

\[2\cos(4x + \frac{\pi}{3}) = 1\]

\[\cos(4x + \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\]

Теперь найдем угол, чей косинус равен \(\frac{1}{2}\). Это угол \(\frac{\pi}{3}\), так как \(\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}\).

Таким образом, у нас есть уравнение:

\[4x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\]

где \(n\) - целое число.

Теперь решим это уравнение относительно \(x\):

\[4x = 2\pi n\]

\[x = \frac{\pi}{2}n\]

Таким образом, общее решение уравнения \(4\sin^2(2x + \frac{\pi}{3}) = 1\) это:

\[x = \frac{\pi}{2}n\]

где \(n\) - целое число.