Question

Помогите пожалуйста! Вычислите lim при n стремящимся к бесконечности((n2+2n+1)/(n2-1))

Answer 1

$lim_{n->\infty} \frac{n^2+2n+1}{n^2-1}=\\\\lim_{n->\infty} \frac{1+\frac{2}{n}+\frac{1}{n^2}}{1-\frac{1}{n^2}}=\\\\\frac{1+0+0}{1-0}=1$

Answer 2

Вычисление предела

Для вычисления предела

lim (n^2 + 2n + 1) / (n^2 - 1)

при n стремящемся к бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя или выполнить алгебраические преобразования.

Правило Лопиталя

Правило Лопиталя позволяет нам вычислить предел отношения двух функций, когда оба предела числителя и знаменателя равны бесконечности или когда оба предела равны нулю. В этом случае, оба предела равны бесконечности.

lim (n^2 + 2n + 1) / (n^2 - 1)

Правило Лопиталя говорит нам, что предел отношения двух функций равен пределу отношения их производных, если существует такой предел:

lim (n^2 + 2n + 1)' / (n^2 - 1)'

Вычислим производные:

(n^2 + 2n + 1)' = 2n + 2

(n^2 - 1)' = 2n

Теперь вычислим предел:

lim (2n + 2) / (2n)

При n, стремящемся к бесконечности, оба члена дроби стремятся к бесконечности. Поэтому предел равен:

lim (2n + 2) / (2n) = lim (2 + 2/n) / 2 = 2/2 = 1

Алгебраические преобразования

Мы можем также вычислить предел, выполнив алгебраические преобразования. Разложим числитель и знаменатель на множители:

n^2 + 2n + 1 = (n + 1)^2 n^2 - 1 = (n - 1)(n + 1)

Теперь упростим исходное выражение:

(n^2 + 2n + 1) / (n^2 - 1) = ((n + 1)^2) / ((n - 1)(n + 1))

(n + 1)^2 и (n + 1) в числителе и знаменателе можно сократить:

((n + 1)^2) / ((n - 1)(n + 1)) = (n + 1) / (n - 1)

При n, стремящемся к бесконечности, выражение (n + 1) / (n - 1) также стремится к 1.

Итоговый ответ

Таким образом, предел

lim (n^2 + 2n + 1) / (n^2 - 1)

при n стремящемся к бесконечности равен 1.