Question

Доказать , что функция y = sin(x/2 + 3) удвлетворяет соотношению y^2 +( 2y' )^2 = 1

Answer 1

y=sin(x/2)+3)

y ' = cos(x/2+3)/2

y^2=sin^(2)(x/2+3)

(2y ')^2=4*cos^(2)(x/2 +3)*(1/4)=cos^(2)(x/2+3)

тогда

y^2 +( 2y' )^2=sin^(2)(x/2+3)+cos^(2)(x/2+3)=1

использовали формулу

sin^2(x)+cos^2(x)=1

 

Answer 2

Давайте разберемся с уравнением \(y^2 + (2y')^2 = 1\), где \(y' = \frac{dy}{dx}\) - производная функции \(y\) по переменной \(x\).

Для начала, найдем первую и вторую производные для функции \(y = \sin\left(\frac{x}{2} + 3\right)\).

1. Найдем первую производную \(y'\):

\[y' = \frac{d}{dx}\left(\sin\left(\frac{x}{2} + 3\right)\right)\]

Используем правило дифференцирования сложной функции (chain rule):

\[y' = \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2} + 3\right)\]

2. Теперь найдем вторую производную \(y''\):

\[y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2} + 3\right)\right)\]

Снова применяем правило дифференцирования сложной функции:

\[y'' = -\frac{1}{4}\sin\left(\frac{x}{2} + 3\right)\]

Теперь мы имеем значения функции \(y\), ее первой производной \(y'\), и второй производной \(y''\).

Теперь подставим все это в уравнение \(y^2 + (2y')^2 = 1\) и убедимся, что оно выполняется для \(y = \sin\left(\frac{x}{2} + 3\right)\):

\[\sin^2\left(\frac{x}{2} + 3\right) + \left(2 \cdot \frac{1}{2}\cos\left(\frac{x}{2} + 3\right)\right)^2 = 1\]

Раскроем скобки и упростим:

\[\sin^2\left(\frac{x}{2} + 3\right) + \cos^2\left(\frac{x}{2} + 3\right) = 1\]

Используя тригонометрическое тождество \(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1\), мы видим, что уравнение выполняется.

Таким образом, функция \(y = \sin\left(\frac{x}{2} + 3\right)\) удовлетворяет уравнению \(y^2 + (2y')^2 = 1\).