Question

Решите систему уравнений {x^2y^2+2xy=3 {(x+y)^2=x+y

Answer 1

1)x-2y=2
2xy=3
2)x+y=4
x^2-4y=5
система нелинейных уравнений 

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений поэтапно.

Первое уравнение:

x^2y^2 + 2xy = 3

Мы можем заметить, что левая часть этого уравнения может быть факторизована, если мы рассмотрим ее как квадратный трехчлен. Давайте проведем факторизацию:

(xy)^2 + 2xy - 3 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение, заменив xy на t:

t^2 + 2t - 3 = 0

Факторизуя это квадратное уравнение, мы получаем:

(t + 3)(t - 1) = 0

Отсюда мы видим два возможных значения t:

t + 3 = 0 => t = -3

t - 1 = 0 => t = 1

Теперь мы можем вернуться к нашим переменным x и y:

xy = -3

xy = 1

Второе уравнение:

(x + y)^2 = x + y

Мы можем раскрыть квадрат на левой стороне:

x^2 + 2xy + y^2 = x + y

Теперь мы можем заменить xy на его значения, которые мы получили из первого уравнения:

x^2 - 3x + y^2 = x + y (для xy = -3)

x^2 + x + y^2 = x + y (для xy = 1)

Итак, у нас есть два уравнения, которые мы можем решить:

x^2 - 3x + y^2 = x + y

x^2 + x + y^2 = x + y

Решение для xy = -3:

x^2 - 3x + y^2 = x + y

Перенесем все к одной стороне:

x^2 - 4x + y^2 - y = 0

Мы можем заметить, что левая часть этого уравнения может быть факторизована:

(x - 2)^2 + (y - 1/2)^2 = 17/4

Таким образом, мы получили уравнение окружности с центром в точке (2, 1/2) и радиусом sqrt(17/4).

Решение для xy = 1:

x^2 + x + y^2 = x + y

Перенесем все к одной стороне:

x^2 - x + y^2 - y = 0

Мы можем заметить, что левая часть этого уравнения может быть факторизована:

(x - 1/2)^2 + (y - 1/2)^2 = 1/4

Таким образом, мы получили уравнение окружности с центром в точке (1/2, 1/2) и радиусом 1/2.

Итак, мы решили данную систему уравнений и получили две окружности в разных координатах.