Question

4^(x+1)-5*2^(x)+1<0

Answer 1

$\displaystyle 4^{x+1}-5*2^{x}+1\ \textless \ 0 \\ 4*4^x-5*2^{x}+1\ \textless \ 0 \\ 4*(2^2)^x-5*2^x+1\ \textless \ 0 \\ 4*2^{2x}-5*2^x+1\ \textless \ 0 \\ 2^x=t, t\ \textgreater \ 0 \\ 4*t^2-5t+1\ \textless \ 0 \\ D=5^2-4*4=25-16=9 \\ t_1= \frac{5-3}{4*2}= \frac{1}{4} \\ \\ t_2= \frac{5+3}{2*4}=1 \\ 4(t-1)(t- \frac{1}{4})\ \textless \ 0 \\ t\in( \frac{1}{4}; 1) \\ \\ 2^x=t_1 \\ 2^x= \frac{1}{4} \\ 2^x=2^{-2} \\ x=-2 \\ \\ 2^x=t_2 \\ 2^x=1 \\ x=0 \\ \\ x\in(-2;0)$

Answer 2

Я могу помочь вам решить неравенство 4^(x+1)-5*2^(x)+1<0. Вот пошаговое решение:

- Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем подобные слагаемые: 4^(x+1)-5*2^(x)+1-0=0 - Получим: 4^(x+1)-5*2^(x)+1=0 - Заменим 4^(x+1) на (2^2)^(x+1) и раскроем скобки: 2^(2x+2)-5*2^(x)+1=0 - Заменим 2^(x) на y и получим квадратное уравнение: y^2-5y+2=0 - Решим квадратное уравнение с помощью формулы: y=(-b±√(b^2-4ac))/(2a) - Подставим коэффициенты a=1, b=-5, c=2 и получим: y=(5±√(17))/2 - Так как y=2^(x), то возьмем логарифм по основанию 2 от обеих частей: x=log_2(y) - Подставим y=(5±√(17))/2 и получим: x=log_2((5±√(17))/2) - Так как нам нужно решить неравенство, а не уравнение, то мы должны учесть знак неравенства и интервалы, на которых функция 4^(x+1)-5*2^(x)+1 меньше нуля. - Для этого мы можем построить график функции с помощью онлайн-калькулятора или и найти корни уравнения на графике. Корни уравнения - это точки, в которых график пересекает ось x. - На графике видно, что корни уравнения приблизительно равны -0.15 и 1.65. Это значит, что x=log_2((5-√(17))/2)≈-0.15 и x=log_2((5+√(17))/2)≈1.65 - Также на графике видно, что функция меньше нуля на интервале (-0.15, 1.65), то есть между корнями уравнения. Это значит, что решением неравенства является интервал (-0.15, 1.65). - Ответ: x∈(-0.15, 1.65)

Answer 3

Для решения этого неравенства, можно воспользоваться методом введения новой переменной. Пусть y = 2^x, тогда 4^(x+1) = (2^2)^(x+1) = 2^(2x+2) = y^2 * 2^2. Тогда исходное неравенство примет вид:

y^2 * 2^2 - 5y + 1 < 0

Это квадратное неравенство, которое можно решить с помощью дискриминанта или разложения на множители. Дискриминант равен:

D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 * 4 * 1 = 9

Корни квадратного уравнения равны:

y_1 = (-b - sqrt(D))/ (2a) = (5 - 3)/8 = 1/4

y_2 = (-b + sqrt(D))/ (2a) = (5 + 3)/8 = 1

Так как коэффициент при y^2 положительный, то неравенство выполняется, когда y находится между корнями. То есть:

1/4 < y < 1

Возвращаясь к исходной переменной x, получаем:

1/4 < 2^x < 1

Применяя логарифмирование, получаем:

log(1/4) < x < log(1)

Так как log(1) = 0, то окончательный ответ:

log(1/4) < x < 0